Lösungen Stochastik: Abi 2006 NRW LK Probeaufgabe 3 – Truth-Quark

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a

P("höchstens zwei Zylinder blau oder grün") ist die Gegenwahrscheinlichkeit von P("Kein Roter Zylinder").
P("höchstens zwei Zylinder blau oder grün")= 1- P("Kein Roter Zylinder")
$LaTeX: = 1 - 8 \cdot 0{,}2375^3 \approx 0{,}89282813$

Dafür, dass alle drei Zylinder verschiedene Farben haben, gibt es sechs Möglichkeiten, also gilt für die Wahrscheinlichkeit:
$LaTeX: 6 \cdot 0{,}2375^2 \cdot 0{,}525\approx 0{,}17767969$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Zylinder grün ist, beträgt (X: Zylinder die grün zeigen): $LaTeX: P(X=1)= \binom 31 \cdot 0{,}2375^1 \cdot 0{,}7625^{2} \approx 0{,}41425195$

b)

Für den Erwartungswert gilt:
$LaTeX: E(X)=x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + x_3 \cdot p_3$ $LaTeX: = 2 \cdot a \cdot 0{,}2375 + \frac a2 \cdot 0{,}2375 + (a-2) \cdot 0{,}525= (2 \cdot 0{,}2375+ \frac 12 \cdot 0{,}2375 + 0{,}525) \cdot a - 2 \cdot 0{,}525$
$LaTeX: = \frac{179}{160} a - \frac {21}{20}$
Damit der Spieler Gewinn macht muss E(X)>a sein:
$LaTeX: \frac{179}{160} a - \frac {21}{20} > a$
$LaTeX: \Leftrightarrow \frac{19}{160} a > \frac {21}{20}$
$LaTeX: \Leftrightarrow a > \frac {21\cdot160}{20\cdot19} = \frac{168}{19} \approx 8{,}8421053$

Ab einem Einsatz von über 8,84€ kann der Spieler also einen Gewinn erwarten.

c)

Da man nicht aufgund von irgendwelchen Symmetrieüberlegungen eine dieser beiden Wahrscheinlichkeiten bevorzugen könnte, müsste man umfangreiche Testreihen durchführen, um eine Näherung für die tatsächliche Wahrscheinlichkeit der roten Fläche schätzen zu können. Ohne diese Testreihen kann man nur davon ausgehen, dass die blaue und die grüne Fläche aufgrund der Symmetrie die selbe Wahrscheinlichkeit haben. Über die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten lässt sich keine Aussage machen!

d)

Bei n Würfen wäre die Standardabweichung $LaTeX: \sigma = \sqrt{n\cdot\frac12^2}$ bzw. $LaTeX: \sqrt{n\cdot 0{,}525 \cdot 0{,}475}$ bei einem Erwartungswert von $LaTeX: \mu = n \frac12$ bzw. $LaTeX: \mu = n \cdot 0{,}525$ . Die Differenz der Erwartungswerte $LaTeX: 0{,}025 \cdot n$ ist dabei für zum Beispiel n=120 kleiner als die Standardabweichung der beiden Wahrscheinlichkeiten.

e)

X: Anzahl der Zylinder, bei denen die rote Seite nach oben zeigt

H₀: p(rot)≤0,5

Entscheidungsregel:

H₀ wird abgelehnt, wenn $LaTeX: X \ge k$

$LaTeX: \frac Xn=0{,}525$

$LaTeX: \Phi\left(\frac{k+0{,}5-0{,}5n}{\sqrt{0{,}25n}}\right)=0{,}05$ Wir betrachten nun den Grenzfall X=k=0,525n.
$LaTeX: \Phi\left(\frac{0{,}525n+0{,}5-0{,}5n}{\sqrt{0{,}25n}}\right)=0{,}05$
$LaTeX: \Rightarrow \frac{0{,}525n+0{,}5-0{,}5n}{\sqrt{0{,}25n}}=-1{,}645$
$LaTeX: \Leftrightarrow 0{,}525n+0{,}5-0{,}5n=-1{,}645\sqrt{0{,}25n}$
$LaTeX: \Leftrightarrow (0{,}025n+0{,}5)^2=1{,}645^2\cdot 0{,}25n$
$LaTeX: \Leftrightarrow \fraac1{1600}n^2+\frac1{160}n+\frac14=1{,}645^2\cdot 0{,}25n$
$LaTeX: \Leftrightarrow n^2+1600\left(\frac1{160}-1{,}645^2\cdot 0{,}25\right)n+400=0$
$LaTeX: \Rightarrow n=\frac{107241}{200} + \sqrt{\frac{107241}{200}^2-400}$

$LaTeX: \Leftrightarrow n=536{,}205 + 535{,}83188$
Die Anzahl der Würfe muss also größer sein als 1072!