Vorkurs:Komplexe Zahlen – Truth-Quark

Aus Truth-Quark

Die Komplexen Zahlen $LaTeX: \mathbb C$ :

$LaTeX: i=\sqrt{-1}$
$LaTeX: \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}=a+ib$
Addition:
$LaTeX: \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + a_2 & b_1 + b_2 \end{pmatrix}$
Absolter Betrag, komplex konjugierte Zahl:
$LaTeX: z=x+iy \quad |z|=\sqrt{x^2+y^2} \quad \bar z=x-iy \quad z \cdot \bar z =x^2 - y^2 \quad |z| = \sqrt{z \bar z} = |\bar z|$
Eulersche Formel, Argument von z:
$LaTeX: z=x+iy \quad \sin(\alpha)= \frac{y}{|z|} \quad \cos(\alpha)= \frac{x}{|z|}$
$LaTeX: e^{i \alpha} = \cos( \alpha ) + i \sin( \alpha ) \quad z= |z| \cos( \alpha ) + |z| i \sin( \alpha ) = |z| \cdot e^{i \alpha}$
Zusammenhang zwischen sin, cos und e:
$LaTeX: e^{ix} + e^{-ix} = 2 \cos(x) \quad e^{ix} - e^{-ix} = 2 i \sin(x)$