Lösungen Stochastik: Abi 2008 NRW LK HT 8 – Truth-Quark

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Inhaltsverzeichnis

1 a)
2 b)
3 c)
4 d)
5 e)

a)

Es handelt sich hierbei um eine Binomialverteilung.

X: Anzahl der Lesefans

p=0,25

n=8

Es gilt: $LaTeX: B_{n;\;p}(k)=\binom nk \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

(1) $LaTeX: B_{8;\;0{,}25}(2)=\binom 82 \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^{6} \approx 0{,}3114624$

(2) $LaTeX: B_{8;\;0{,}25}(0)=\binom 80 \cdot 0{,}25^0 \cdot 0{,}75^{8} \approx 0{,}10011292$

(3) $LaTeX: B_{8;\;0{,}25}(3;\;4;\;5;\;6;\;7;\;8)=1-B_{8;\;0{,}25}(0;\;1;\;2)$
$LaTeX: =1-\binom 82 \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^{6} - \binom 81 \cdot 0{,}25^1 \cdot 0{,}75^{7} - \binom 80 \cdot 0{,}25^0 \cdot 0{,}75^{8} \approx 0{,}43825528$

b)

(1) Anna wählt dieses Modell, um die Wahrscheinlichkeit von p=25% und die Anzahl der Personen n=8 zu simulieren. Die roten Kugeln sollen die Lesefans darstellen.

(2) Da Anna die Kugeln nicht zurücklegt, verändert sich die Warhscheinlichkeit bei jedem Mal. In der Realität liegt allerdings durch die hohe Bevölkerungsanzahl näherungsweise eine Binomialverteilung vor.

c)

(1)
Beim Fehler 1. Art handelt es sich um den Fehler, die Hypothese abzulehnen, obwohl sie wahr ist. In diesem Fall handelt es sich also um die Wahrscheinlichkeit P(X<581)+P(X>669).

$LaTeX: \mu = n \cdot p = 625$

$LaTeX: \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p) = 2500 \cdot \frac14 \cdot \frac34 = 468{,}75 >9$

$LaTeX: \sigma=\frac{25}2 \cdot \sqrt3$

$LaTeX: P(X \le 580) + 1-P(X \le 669) \approx 1+ \Phi\left(\frac{580-\mu+0{,}5}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{669-\mu+0{,}5}{\sigma}\right)$

$LaTeX: = 1+ \Phi\left(\frac{-44{,}5}{\frac{25}2 \cdot \sqrt3}\right) - \Phi\left(\frac{44{,}5}{\frac{25}2 \cdot \sqrt3}\right)$

$LaTeX: = 1+ \left( 1- \Phi\left(\frac{44{,}5}{\frac{25}2 \cdot \sqrt3}\right)\right) - \Phi\left(\frac{44{,}5}{\frac{25}2 \cdot \sqrt3}\right)$

$LaTeX: = 2 - 2\cdot \Phi\left(\frac{44{,}5}{\frac{25}2 \cdot \sqrt3}\right)$

$LaTeX: = 2 - 2\cdot \Phi\left(2{,}055367\right)$

$LaTeX: \approx 2-2\cdot 0{,}9801 = 0{,}0398$

(2)
Das Ergebnis ist innerhalb der Werte für die im Vorhinein die Annahme der Hypothese bestimmt wurde. Um die Berechtigung der Annahme zu beurteilen, müsste man den Fehler 2. Art (angenommen, obwohl falsch) betrachten, der allerdings, da es keine feste Alternativwahrscheinlichkeit gibt, nur als Funktion angegeben werden kann.

d)

Die Nullhypothese H₀ von Intersoft lautet wahrscheinlich:

H₀: Der Anteil der Lesefans in der Bevölkerung ist 22%.

Die Entscheidungsregel lautet:

Wenn $LaTeX: X \ge k$ wird die Nullhypothese angenommen.

$LaTeX: \mu = n \cdot p = 550$

$LaTeX: \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p) = 2500 \cdot 0{,}22 \cdot 0{,}78 = 429 > 9$

$LaTeX: \sigma \approx 20{,}712315$

$LaTeX: P(X\gek)=0{,}05$

$LaTeX: \Rightarrow \Phi\left(\frac{k+0{,}5-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\left(\frac{k+0{,}5-550}{\sqrt{429}}\right)\approx 0{,}05$

$LaTeX: \Leftrightarrow \Phi\left(-\frac{k+0{,}5-550}{\sqrt{429}}\right)\approx 0{,}95$

$LaTeX: \Leftrightarrow -\frac{k+0{,}5-550}{\sqrt{429}}\approx 1{,}645$

$LaTeX: \Leftrightarrow k \approx -1{,}645 \cdot \sqrt{429} + 549{,}5 = 515{,}42824$

$LaTeX: \Rightarrow k = 516$

Die Entscheidungsregel lautet also:

Wenn $LaTeX: X \ge 516$ wird die Nullhypothese angenommen.

e)

(1)
Die Relative Häufigkeit $LaTeX: \frac Xn$ soll sich höchstens um 0,02 von p unterscheiden.

$LaTeX: \Rightarrow p -0{,}02 \le \frac Xn \quad\land\quad p +0{,}02 \ge \frac Xn$

$LaTeX: \Leftrightarrow 0{,}25 \cdot n \le X \quad\land\quad 0{,}29 \cdot n \ge X$

Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis ist:

$LaTeX: P\left( X \le 0{,}29 \cdot n\right)-P\left(X < 0{,}25 \cdot n\right) =P\left(0{,}25 \cdot n \le X \le 0{,}29 \cdot n\right)$

(2) Die Wahrscheinlichkeit $LaTeX: P\left(0{,}25 \cdot n \le X \le 0{,}29 \cdot n \right)$ soll mindestens 95% betragen:

$LaTeX: P\left( X \le 0{,}29 \cdot n\right)-P\left(X < 0{,}25 \cdot n\right) \ge 0{,}95$

$LaTeX: P\left( X \le 0{,}29 \cdot n\right) - P\left(X \le 0{,}25 \cdot n+1\right) \ge 0{,}95$

$LaTeX: \Phi\left(\frac{0{,}29 \cdot n - n\cdot p}{n \cdot p \cdot (1- p)}\right) -\Phi\left(\frac{0{,}25 \cdot n+1 - n\cdot p}{n \cdot p \cdot (1- p)}\right) \ge 0{,}95$

$LaTeX: \Phi\left(\frac{0{,}29 - 0{,}27}{ 0{,}27 \cdot (1- 0{,}27)}\right) -\Phi\left(\frac{1 - n\cdot 0{,}02}{n \cdot 0{,}27 \cdot (1- 0{,}27)}\right) \ge 0{,}95$

$LaTeX: \Phi\left(\frac{1 - n\cdot 0{,}02}{n \cdot 0{,}27 \cdot (1- 0{,}27)}\right) \le \Phi(0{,}10147133) -0{,}95$

$LaTeX: \Phi\left(\frac{1 - n\cdot 0{,}02}{n \cdot 0{,}27 \cdot 0{,}73}\right) \le 0{,}5403 - 0{,}95$

$LaTeX: \Phi\left(\frac{1 - n\cdot 0{,}02}{n \cdot 0{,}27 \cdot 0{,}73}\right) \le -0{,}4097$

Dies ist ein Widerspruch. Für kein n ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 95%