Lösungen Analysis: Abi 2008 NRW LK HT 3 – Truth-Quark

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a)

Schnittpunkt mit der y-Achse:
$LaTeX: x=0 \Rightarrow f_a(0)=a \Rightarrow S_y(0|a)$
Schnittpunkt mit der x-Achse:
$LaTeX: y=0 \Rightarrow 0= (x+a) \cdot e^{-x} \Leftrightarrow x = -a \Rightarrow S_x(-a|0)$

Verhalten im Unendlichen:
$LaTeX: \lim_{x \to \infty} f_a(x) =\lim_{x \to \infty} \frac{x+a}{e^x}$
Da dies einen Ausdruck der Form $LaTeX: \frac{\infty}{\infty}$ ergibt, folgt nach de l'Hospital:
$LaTeX: \lim_{x \to \infty} \frac{x+a}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} = \frac{1}{\infty} = 0$

Extrempunkte:
Notwendige Bedingung:
$LaTeX: f'_a(x)=0$
$LaTeX: f'_a(x)= e^{-x} - (x+a) \cdot e^{-x} = (-x+1-a)\cdot e^{-x}$
$LaTeX: 0=(-x+1-a)\cdot e^{-x} \Leftrightarrow x=1-a \Rightarrow f(1-a)=e^{a-1}$
$LaTeX: \Rightarrow H_a \left( \begin{array}{c|c} </p> <pre>1-a & e^{a-1}\end{array}\right)$
Die Untersuchung der hinreichenden Bedingung ist nicht notwendig, da aus dem Verhalten im Unendlichen und den Achsenschnittpunkten schon ersichtlich ist, dass die Funktion ein Maximum haben muss.

b)

Gleichsetzen der beiden Graphen:
$LaTeX: f'_a(x)=f_a(x)$
$LaTeX: \Leftrightarrow (-x+1-a)\cdot e^{-x} = (x+a) \cdot e^{-x} \Leftrightarrow -x+1-a = x+a$
$LaTeX: \Leftrightarrow x =\frac12 - a \Rightarrow f_a\left(\frac12 - a\right)=\frac12 e^{a - \frac12}$

$LaTeX: \Rightarrow S_a \left( \begin{array}{c|c} </p> <pre>\frac12 - a & \frac12 e^{a - \frac12} </pre> <p>\end{array}\right)$

Bestimmen der Funktion g:
$LaTeX: g\left(\frac12 - a \right)=\frac12 e^{a - \frac12} \land a = \frac12 - x$
$LaTeX: \Rightarrow g(x)=\frac12e^{- x}$

Bestimmen des Wertes von a, für den f und f' sich rechtwinklig schneiden:
Damit sich die beiden Funktionen rechtwinklig schneiden, muss für ihre Steigungen im Schnittpunkt gelten:
$LaTeX: m_f = - \frac1{m_{f'}}$
$LaTeX: f''_a(x)=-e^{-x}-(-x+1-a)\cdot e^{-x}=(x+a-2)\cdot e^{-x}$
Daher muss gelten:
$LaTeX: f''_a\left(\frac12 - a\right)=-\frac{1}{f'_a\left(\frac12 - a\right)}$
$LaTeX: \Leftrightarrow -\frac32 e^{a - \frac12} = - \frac{1}{\frac12 e^{a - \frac12}}$
$LaTeX: \Leftrightarrow -\frac34 e^{2a-1}=-1 \Leftrightarrow e^{2a-1} = \frac43 \Leftrightarrow a=\frac{ln(\frac43)+1}{2}\approx0{,}64384104$

c)

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist $LaTeX: A = \frac 12 \cdot h \cdot g = \frac 12 \cdot \left(\frac12+u\right)\cdot\left(f_1(u)-f'_1(u)\right)= \frac 12 \cdot \left(\frac12+u\right)\cdot(2u+1)\cdot e^{-u}$
$LaTeX: A(u)=\left(u^2+u+\frac14\right) \cdot e^{-u}$
$LaTeX: A'(u)=(2u+1) \cdot e^{-u} - \left(u^2+u+ \frac14 \right) \cdot e^{-u} = \left(-u^2 + u + \frac34 \right) \cdot e^{-u}$ $LaTeX: 0 = \left(-u^2 + u + \frac34 \right) \cdot e^{-u} \Leftrightarrow 0 = u^2 - u - \frac34 \Leftrightarrow u = \frac12 \pm \sqrt{\frac14 + \frac34}$
$LaTeX: u \ge 0 \Rightarrow u=\frac32$

d)

Für die Eingeschlossene Fläche gilt: $LaTeX: \int\limits_{-\frac12}^u f_1(x)\,dx - \int\limits_{-\frac12}^u f'_1(x)\,dx$ $LaTeX: =\int\limits_{-\frac12}^u (x+1) \cdot e^{-x} \,dx - (x+1) \cdot e^{-x}\Big|_{-\frac12}^u$

NR: $LaTeX: \int (x+1) \cdot e^{-x} \,dx = -(x+1) \cdot e^{-x} - \int - e^{-x} \,dx = -(x+1) \cdot e^{-x} - e^{-x} = (-x-2) \cdot e^{-x}$

$LaTeX: A=(-x-2) \cdot e^{-x} - (x+1) \cdot e^{-x}\Big|_{-\frac12}^u$ $LaTeX: =(-2x-3)\cdot e^{-x}\Big|_{-\frac12}^u = (-2u-3)\cdot e^{-u} + 2 e^{\frac12}$
$LaTeX: A(u)=(-2u-3)\cdot e^{-u} + 2 e^{\frac12}$

$LaTeX: \lim_{u \to \infty}A(u)=\lim_{u \to \infty}\frac{-2u-3}{e^{u}} + 2 e^{\frac12}$
Nach de l'Hospital:
$LaTeX: \lim_{u \to \infty} \frac{-2u-3}{e^{u}} + 2 e^{\frac12}= \frac{-2}{\infty} + 2 \sqrt{e}= 2 \sqrt{e} \approx 3{,}2974425$