Aus Truth-Quark

Um die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen, kann man versuchen, die Durchflussgeschwindigkeit des Wassers an einer bestimmten Stelle des Flusses mit Hilfe geeigneter Funktionen zu beschreiben. Solche näherungsweise Beschreibungen der Durchflussgeschwindigkeiten seien z. B. gegeben durch die Funktionenschar f_a mit .
Dabei gibt f_a(t) die Durchflussgeschwindigkeit in 10⁶m³/Monat (Millionen Kubikmeter pro Monat) und t die verstrichene Zeit in Monaten seit Beginn der Vorhersage (t =0) an. Die Funktionen f_a berücksichtigen, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise austrocknet.

Inhaltsverzeichnis 1 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 f)

a)

Berechnen Sie abhängig vom Parameter a, zu welchen Zeitpunkten gerade kein Wasser durch den Fluss fließt.

b)

Ermitteln Sie in Abhängigkeit von a, zu welchen Zeitpunkten die Durchflussgeschwindigkeit ein relatives Maximum bzw. Minimum annimmt, und berechnen Sie diese Funktionswerte.

c)

Ermitteln Sie in Abhängigkeit von a, wann die Durchflussgeschwindigkeit besonders stark absinkt, und berechen Sie ihren Wert zu diesem Zeitpunkt.

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In der nebenstehenden Abbildung sind die Graphen der Funktionen f₂ und f₃ dargestellt.

d)

Begründen Sie, warum kein Punkt der Funktionsgraphen von f_a im Bereich t ≥ 0 unterhalb der t-Achse liegt und inwiefern dies mit dem zugrunde liegenden Sachverhalt vereinbar ist. Geben Sie das Verhalten von f_a für an und begründen Sie, ob die Funktionen auch nach den ersten 8 Monaten noch eine sinnvolle Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit liefern.

e)

Ermitteln Sie für a = 3 , wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.

f)

Betrachten Sie nun zwei verschiedene Funktionen f_a1 und f_a2. Bestimmen Sie den Zeitpunkt t₀, zu dem für beide Funktionsannahmen (seit t = 0 ) genau gleich viel Wasser durch den Fluss geflossen wäre.