Lösungen Analysis: Abi 2007 NRW LK HT 2 – Truth-Quark

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a)

Gesucht ist die Nullstelle der Funktion f_a(t).
$LaTeX: f_a(t)=0 \Leftrightarrow 0=\frac14 t^3 - at^2 +a^2 t \Leftrightarrow t=0 \quad\lor\quad t^2 - 4at + 4a^2 = 0$
$LaTeX: \Leftrightarrow t=0 \quad\lor\quad t = 2a \pm \sqrt{4a^2 - 4a^2} \Leftrightarrow t=0 \quad\lor\quad t = 2a$
Es fließt also zu den Zeitpunkten 0 und 2a Monate kein Wasser.

b)

Notwendige Bedingung:
$LaTeX: f'_a(t)=0$
$LaTeX: f'_a(t)=\frac34 t^2 -2at+a^2$
$LaTeX: \Rightarrow \frac34 t^2 -2at+a^2 = 0 \Leftrightarrow t^2 - \frac83 a t + \frac43 a^2 = 0$
$LaTeX: \Leftrightarrow t= \frac43 a \pm \sqrt{\frac{16}9 a^2 - \frac{12}9 a^2}=\frac43 a \pm \frac23 a$
$LaTeX: \Leftrightarrow t=\frac23 a \quad\lor\quad t=2a$
Hinreichende Bedingung:
$LaTeX: f''_a(t)\ne0$
$LaTeX: f''_a(t)=\frac32 t -2a$
$LaTeX: f''_a\left(\frac23 a\right)=-a \Rightarrow$ Hochpunkt
$LaTeX: f''_a(2a)=a \Rightarrow$ Tiefpunkt
Hochpunkt:
$LaTeX: f_a\left(\frac23 a\right)=\frac2{27}a^3 - \frac{12}{27}a^3 + \frac{18}{27}a^3 = \frac8{27}a^3$
$LaTeX: \Rightarrow H \left( \begin{array}{c|c} <pre>\frac23 a & \frac8{27}a^3 </pre> \end{array}\right)$
Tiefpunkt:
Da an der Nullstelle:
$LaTeX: T \left( \begin{array}{c|c} <pre>2 a & 0 </pre> \end{array}\right)$

c)

Gesucht ist nach einem Punkt mit besonder niedriger Steigung, also nach einem Minimum der Ableitung (einem Wendepunkt der Funktion)
Notwendige Bedingung:
$LaTeX: f''_a(t)=0$
$LaTeX: 0=\frac32 t -2a \Leftrightarrow t(a)=\frac43 a$
Hinreichende Bedingung:
$LaTeX: f''_a(t)=\frac32 \ne 0$
$LaTeX: f_a(\frac43 a)=\frac{16}{27} a^3 - \frac{48}{27} a^3 + \frac{36}{27}a^3=\frac4{27} a^3$
$LaTeX: \Rightarrow W \left( \begin{array}{c|c} <pre>\frac43 a & \frac4{27}a^3 </pre> \end{array}\right)$

d)

Aus den Hoch-, Tief- und Nullpunkten ist ersichtlich, dass der niedrigste y-Wert der Funktion für $LaTeX: t \ge 0$ der y-Wert des Tiefpunktes ist. (Andernfalls müsste es rechts des Tiefpunktes einen weiteren Hochpunkt geben.)
Flüsse neigen im Allgemeinen dazu bergab zu fließen. Würde die Funktion für $LaTeX: t \ge 0$ oberhalb und unterhalb der t-Achse verlaufen, würde dies einer Umkehr der Fließrichtung gleichkommen. Flüsse wechseln ihre Fließrichtung nur in Ausnahmefällen.

$LaTeX: \lim_{t \to \infty} f_a(t) = \lim_{t \to \infty} \frac14 t^3 -at^2 + a^2t = \lim_{t \to \infty} \frac14 t^3 = \infty$
Flüsse neigen nicht dazu, immer mehr Wasser zu führen, da sie sonst auf Schadensersatz wegen Überschwämmung verklagt würden.

e)

Die Funktion f_a(t) gibt an, wieviel Volumen Wasser pro Zeit durch den Fluss fließt, also:
$LaTeX: f_a(t)=\frac{dV}{dt}=V'(t)$
Das Wasser, das für a=3 in den ersten sechs Monaten durch den Fluss geflossen ist, ergibt sich also aus
$LaTeX: \int\limits_0^6 f_3(t) \,dt = \int\limits_0^6 \frac14 t^3 - 3t^2+9t \,dt = \frac1{16} 6^4 - 6^3 + \frac92 6^2 =27$
Da f_a(t) die Durchflussgeschwindigkeit in $LaTeX: 10^6 \frac{m^3}{Monat}$ angibt, fließen in den ersten sechs Monaten also $LaTeX: 27 \cdot 10^6 m^3 = 27 \cdot 10^9 l$ durch den Fluss.

f)

$LaTeX: \frac1{16} t_0^4 - \frac{a_1}3 t_0^3 + \frac{{a_1}^2}2 t_0^2 = \frac1{16} t_0^4 - \frac{a_2}3 t_0^3 + \frac{{a_2}^2}2 t_0^2$ Daraus folgt wegen $LaTeX: t_0\ne0$
$LaTeX: \Leftrightarrow - \frac{a_1}3 t_0 + \frac{{a_1}^2}2 = - \frac{a_2}3 t_0 + \frac{{a_2}^2}2 \Leftrightarrow -2 a_1 t_0 + 3 a_1^2 = - 2 a_2 t_0 + 3 a_2^2$
$LaTeX: \Leftrightarrow (-2 a_1 + 2 a_2) \cdot t_0 = 3 a_2^2 - 3 a_1^2$
$LaTeX: \Leftrightarrow t_0 = \frac32 \cdot \frac{a_2^2-a_1^2}{a_2-a_1}= \frac32 \cdot \frac{(a_2+a_1) \cdot(a_2-a_1)}{a_2-a_1}=\frac32 \cdot (a_2+a_1)$