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Kultur: Wieder mehr Leseratten Bertelsmann Stiftung ließ 2.500 Bundesbürger befragen ■München (AP). In Deutschland gibt es wieder mehr Leseratten. Wie die Bertelsmann Stiftung gestern mitteilte, ist der Anteil der Lesefans seit 1996 von 22 auf 25 Prozent gestiegen. Die Zahl der Buchmuffel sank dagegen um fünf Punkte auf 15 Prozent. Dies ist das Ergebnis einer Befragung von 2.500 Bundesbürgern ab 14 Jahren, die das infas-Institut für Bertelsmann durchführte.

Auszug aus der Neuen Westfälischen vom 06.12.1999

Inhaltsverzeichnis 1 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e)

a)

Angenommen, die Zeitungsmeldung stimmt und die Prozentsätze von 1999 gelten auch heute noch.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 8 zufällig ausgesuchten Personen

(1) genau 2 zu den Lesefans gehören,

(2) keine Person Lesefan ist,

(3) mindestens 3 Personen Lesefans sind.

b)

Anna will die Stichprobe vom Umfang 8 in Aufgabe a) durch ein Modell simulieren. Sie legt in einen Behälter 40 Kugeln, davon 10 rote und 30 weiße, durchmischt sie gut und zieht nacheinander 8 Kugeln, ohne diese zurückzulegen.

(1) Beschreiben Sie, weshalb Anna das Modell so wählt.

(2) Begründen Sie, weshalb Annas Modell die Situation in Aufgabe a) dennoch nicht angemessen simuliert. Zeigen Sie an einem Beispiel, weshalb in Aufgabe a) näherungsweise eine Binomialverteilung vorliegt.

c)

Die Bertelsmannstiftung lässt die Hypothese, dass der Anteil der Lesefans 25 % beträgt, durch eine neue Untersuchung vom Umfang 2500 überprüfen. Man will weiterhin von der Richtigkeit der Hypothese ausgehen, wenn sich in der Stichprobe mindestens 581 und höchstens 669 Lesefans befinden.

(1) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art. Beschreiben Sie die Bedeutung dieses Fehlers.

(2) In der Stichprobe findet man 585 Lesefans. Erklären Sie ohne weitere Rechnung, inwieweit die Bertelsmann-Stiftung davon ausgehen kann, dass die Hypothese bestätigt ist.

d)

Firma „Intersoft“, die sich sehr stark im Internetbereich engagiert, behauptet, dass der Anteil der Lesefans kleiner ist als 22 %. Sie lässt diese Behauptung durch eine neue Umfrage vom Umfang 2500 prüfen. In der Stichprobe findet man 502 Lesefans.
Bestimmen Sie einen Hypothesentest, den die Firma durchführen wird (Signifikanzniveau 5 %). Beschreiben Sie den Fehler, den die Firma in dieser Situation begehen kann.

e)

Angenommen, der wirkliche Anteil der Lesefans beträgt 27% (p = 0,27). Die relative Häufigkeit der Lesefans in der Stichprobe vom Umfang n soll sich um höchstens 0,02 vom wirklichen Anteil p unterscheiden.

(1) Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis gegeben ist durch .

(2) Bestimmen Sie einen möglichst kleinen Stichprobenumfang n, so dass diese Wahrscheinlichkeit mindestens 95% beträgt. Gehen Sie bei Ihrem Lösungsansatz von einer Normalverteilung aus. Lassen Sie im Argument der Φ-Funktion die Summanden +0,5 bzw. –0,5 weg.