Aufgaben Analysis: Abi 2008 NRW LK HT 3 – Truth-Quark

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Zur Lösung.

Gegeben sind die Funktionen f_a mit $LaTeX: f_a(x) = ( x + a ) \cdot e^{-x} , a \ge 0 .$
Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f₁ sowie den Graphen ihrer Ableitungsfunktion f'₁.

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a)

Untersuchen Sie den Graphen der Funktion f_a in Abhängigkeit von a auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und Extrempunkte. Ermitteln Sie das Verhalten von f_a für $LaTeX: x \rightarrow \infty$ .

Zur Kontrolle: $LaTeX: f'_a(x)=(-x+1-a) \cdot e^{-x}$

b)

Zeigen Sie, dass die Graphen von f_a und f'_a genau einen Schnittpunkt S_a haben, und berechnen Sie seine Koordinaten in Abhängigkeit von a.
Geben Sie die Gleichung der Funktion g an, auf deren Graph alle Schnittpunkte S_a liegen.
Bestimmen Sie den Wert von a, für den sich die Graphen von f_a und f'_a rechtwinklig schneiden.

Zur Kontrolle:
$LaTeX: S_a \left( \begin{array}{c|c} <pre>\frac12 - a & \frac12 e^{-\frac12+a} </pre> \end{array}\right)$

Im Folgenden werden die Funktionen f₁ mit $LaTeX: f_1(x)=(x+1) \cdot e^{-x}$ und f'₁ mit $LaTeX: f'_1(x)= -x \cdot e^{-x}$ betrachtet, deren Graphen in der Abbildung dargestellt sind.

c)

Die Parallele zur y-Achse mit x=u, u≥0, schneidet den Graphen von f₁ im Punkt $LaTeX: P_u \left( \begin{array}{c|c} <pre>u & f_1(u) </pre> \end{array}\right)$ und den Graphen von f'₁ im Punkt $LaTeX: Q_u \left( \begin{array}{c|c} <pre>u & f'_1(u) </pre> \end{array}\right)$ . Die Punkte P_u und Q_u bilden mit dem Schnittpunkt $LaTeX: S_a \left( \begin{array}{c|c} <pre>\frac12 - a & \frac12 e^{-\frac12+a} </pre> \end{array}\right)$ der Graphen von f₁ und f'₁ das Dreieck S₁Q_uP_u.

Bestimmen Sie u ≥ 0 so, dass der Flächeninhalt A(u) dieses Dreiecks maximal wird.

Zur Kontrolle: $LaTeX: A(u)=\left(u^2 + u + \frac14 \right) \cdot e^{-u}$

d)

Die Graphen von f₁ und f'₁ schließen mit der Parallelen zur y-Achse mit x=u, u>0, ein Flächenstück ein.
Ermitteln Sie den Inhalt dieses Flächenstücks in Abhängigkeit von u.
Prüfen Sie, ob für $LaTeX: u \rightarrow \infty$ das nach rechts unbegrenzte Flächenstück einen endlichen Flächeninhalt besitzt.

Zur Lösung.