Lösungen Lineare Algebra: Abi 2006 NRW LK Probeaufgabe 2 – Truth-Quark

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a)

Zum Erstellen einer Ebenengleichung sind mindestens 3 Punkte notwendig, z.B.:
( 4 | 2 | 0 ), ( 4 | 0 | 2 ), ( 2 | 0 | 4 )
Erstellen der Parameterform:
$LaTeX: E: \vec x = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_0 \cdot \left( \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right) + \mu_0 \cdot \left( \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \right)$
$LaTeX: \Leftrightarrow E: \vec x = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$
Erstellen der Normalenform:
$LaTeX: \vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-2) - 1 \cdot (-1) \\ </p> <pre>(-1) \cdot 1 - (-2) \cdot 0 \\ 0 \cdot 1 - 1 \cdot 1 </pre> <p>\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$
$LaTeX: E: \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = 6$