Lösungen Analysis: Abi 2007 NRW LK HT 2 – Truth-Quark

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a)

Gesucht ist die Nullstelle der Funktion f_a(t).
$LaTeX: f_a(t)=0 \Leftrightarrow 0=\frac14 t^3 - at^2 +a^2 t \Leftrightarrow t=0 \quad\lor\quad t^2 - 4at + 4a^2 = 0$
$LaTeX: \Leftrightarrow t=0 \quad\lor\quad t = 2a \pm \sqrt{4a^2 - 4a^2} \Leftrightarrow t=0 \quad\lor\quad t = 2a$
Es fließt also zu den Zeitpunkten 0 und 2a Monate kein Wasser.

b)

Notwendige Bedingung:
$LaTeX: f'_a(t)=0$
$LaTeX: f'_a(t)=\frac34 t^2 -2at+a^2$
$LaTeX: \Rightarrow \frac34 t^2 -2at+a^2 = 0 \Leftrightarrow t^2 - \frac83 a t + \frac43 a^2 = 0$
$LaTeX: \Leftrightarrow t= \frac43 a \pm \sqrt{\frac{16}9 a^2 - \frac{12}9 a^2}=\frac43 a \pm \frac23 a$
$LaTeX: \Leftrightarrow t=\frac23 a \quad\lor\quad t=2a$
Hinreichende Bedingung:
$LaTeX: f''_a(t)\ne0$
$LaTeX: f''_a(t)=\frac32 t -2a$
$LaTeX: f''_a\left(\frac23 a\right)=-a \Rightarrow$ Hochpunkt
$LaTeX: f''_a(2a)=a \Rightarrow$ Tiefpunkt
Hochpunkt:
$LaTeX: f_a\left(\frac23 a\right)=\frac2{27}a^3 - \frac{12}{27}a^3 + \frac{18}{27}a^3 = \frac8{27}a^3$
$LaTeX: \Rightarrow H \left( \begin{array}{c|c} <pre>\frac23 a & \frac8{27}a^3 </pre> \end{array}\right)$
Tiefpunkt:
Da an der Nullstelle:
$LaTeX: T \left( \begin{array}{c|c} <pre>2 a & 0 </pre> \end{array}\right)$

c)

Gesucht ist nach einem Punkt mit besonder niedriger Steigung, also nach einem Minimum der Ableitung (einem Wendepunkt der Funktion)
Notwendige Bedingung:
$LaTeX: f''_a(t)=0$
$LaTeX: 0=\frac32 t -2a \Leftrightarrow t(a)=\frac43 a$
Hinreichende Bedingung:
$LaTeX: f''_a(t)=\frac32 \ne 0$
$LaTeX: f_a(\frac43 a)=\frac{16}{27} a^3 - \frac{48}{27} a^3 + \frac{36}{27}a^3=\frac4{27} a^3$
$LaTeX: \Rightarrow W \left( \begin{array}{c|c} <pre>\frac43 a & \frac4{27}a^3 </pre> \end{array}\right)$

Zur Aufgabe.