Lösungen Analysis: Abi 2007 NRW LK HT 3 – Truth-Quark

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a)

Da a>0 und $LaTeX: x^2 \ge 0$ ist, wird x² + a niemals 0, also gilt für den Definitionsbereich für jedes a: $LaTeX: \mathbb D = \mathbb R$ .
$LaTeX: \frac{4x}{x^2+a} = 0 \Leftrightarrow x=0$
$LaTeX: f'_a(x)= \frac {4 \cdot (x^2 +a) - 4x \cdot 2x}{(x^2+a)^2}$
$LaTeX: \Rightarrow 0= \frac {4 \cdot (x^2 +a) - 4x \cdot 2x}{(x^2+a)^2} \Leftrightarrow x^2 = a \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{a}$
$LaTeX: \lim_{x \to \pm\infty}f_a(x) = \lim_{x \to \pm\infty}\frac{4x}{x^2+a} = \lim_{x \to \pm\infty}\frac{x^2}{x^2} \cdot \frac{\frac{4}{x}}{1+\frac{4}{x^2}}$
$LaTeX: = \frac{\frac{4}{\pm\infty}}{1+\frac{4}{\infty^2}} = \frac01 = 0$

b)

Notwendige Bedingung:
$LaTeX: 8x^3-24ax=0 \Leftrightarrow x=0 \land 8x^2 = 24a \Leftrightarrow x=0 \land x=\sqrt{3a} \land x=-\sqrt{3a}$
Die hinreichende Bedingung ist nicht erforderlich, da aus den Extremstellen, der Nullstelle und der x-Achse als Asymptote folgt, dass die Funktion drei Wendestellen hat.
Für a=2 folgt: $LaTeX: x=\sqrt{6} \land x=-\sqrt{6}$

c)

$LaTeX: x=\sqrt{a} \land g\left(\sqrt{a}\right)=\frac{2}{\sqrt{a}} \Leftrightarrow a=x^2 \land g(x)=\frac{2}{x}$
Für negative x-Werte ist g(x) die Funktion der Tiefpunkte, für positive x-Werte die Funktion der Hochpunkte. Jeder Punkt von x ist ein Extrempunkt der Scharkurven.

d)

Schnittpunkt der Graphen:
$LaTeX: \frac{4x}{x^2 + 1 }= x \Leftrightarrow 4x = x^3 + x \Leftrightarrow x^3 - 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \land x=\pm\sqrt{3}$
Bestimmung des Flächeninhalts:
$LaTeX: A= \int\limits_0^{\sqrt{3}}f_1(x)\,dx - \int\limits_0^{\sqrt{3}}x\,dx = 2 \cdot ln(x^2 + 1) - \frac12 x^2 \Big|_0^{\sqrt{3}}$
$LaTeX: = 2 \cdot ln(4) - \frac32 - 2\cdot ln(1) \approx 1{,}2725887...$

e)

Die Seitenlänge des Quadrats ist:

$LaTeX: \sqrt{\frac{16}{a}+4a}$

Der Flächeninhalt wird minimal, wenn die Seitenlänge minimal wird.
$LaTeX: s(a)=\sqrt{\frac{16}{a}+4a}$

$LaTeX: s'(a)= \frac{- \frac{16}{a^2} + 4}{2 \sqrt{\frac{16}{a}+4a}}$
Minimum:
$LaTeX: 0 = \frac{- \frac{16}{a^2} + 4}{2 \sqrt{\frac{16}{a}+4a}} \Leftrightarrow \frac{16}{a^2} = 4 \Leftrightarrow a^2=4$
$LaTeX: \Leftrightarrow a = 2$

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