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Zur Lösung.

Gegeben sind die Funktionen f_a mit
Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f₁ sowie den Graphen ihrer Ableitungsfunktion f'₁.

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Inhaltsverzeichnis 1 a) 2 b) 3 c) 4 d)

a)

Untersuchen Sie den Graphen der Funktion f_a in Abhängigkeit von a auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und Extrempunkte. Ermitteln Sie das Verhalten von f_a für .

Zur Kontrolle:

b)

Zeigen Sie, dass die Graphen von f_a und f'_a genau einen Schnittpunkt S_a haben, und berechnen Sie seine Koordinaten in Abhängigkeit von a.
Geben Sie die Gleichung der Funktion g an, auf deren Graph alle Schnittpunkte S_a liegen.
Bestimmen Sie den Wert von a, für den sich die Graphen von f_a und f'_a rechtwinklig schneiden.

Zur Kontrolle:

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Im Folgenden werden die Funktionen f₁ mit und f'₁ mit betrachtet, deren Graphen in der Abbildung dargestellt sind.

c)

Die Parallele zur y-Achse mit x=u, u≥0, schneidet den Graphen von f₁ im Punkt und den Graphen von f'₁ im Punkt . Die Punkte P_u und Q_u bilden mit dem Schnittpunkt der Graphen von f₁ und f'₁ das Dreieck S₁Q_uP_u.

Bestimmen Sie u ≥ 0 so, dass der Flächeninhalt A(u) dieses Dreiecks maximal wird.

Zur Kontrolle:

d)

Die Graphen von f₁ und f'₁ schließen mit der Parallelen zur y-Achse mit x=u, u>0, ein Flächenstück ein.
Ermitteln Sie den Inhalt dieses Flächenstücks in Abhängigkeit von u.
Prüfen Sie, ob für das nach rechts unbegrenzte Flächenstück einen endlichen Flächeninhalt besitzt.

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