Lösungen Analysis: Abi 2007 NRW LK HT 3 – Truth-Quark

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a)

Da a>0 und $LaTeX: x^2 \ge 0$ ist, wird x² + a niemals 0, also gilt für den Definitionsbereich für jedes a: $LaTeX: \mathbb D = \mathbb R$ .
$LaTeX: \frac{4x}{x^2+a} = 0 \Leftrightarrow x=0$
$LaTeX: f'_a(x)= \frac {4 \cdot (x^2 +a) - 4x \cdot 2x}{(x^2+a)^2}$
$LaTeX: \Rightarrow 0= \frac {4 \cdot (x^2 +a) - 4x \cdot 2x}{(x^2+a)^2} \Leftrightarrow x^2 = a \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{a}$
$LaTeX: \lim_{x \to \pm\infty}f_a(x) = \lim_{x \to \pm\infty}\frac{4x}{x^2+a} = \lim_{x \to \pm\infty}\frac{x^2}{x^2} \cdot \frac{\frac{4}{x}}{1+\frac{4}{x^2}}$
$LaTeX: = \frac{\frac{4}{\pm\infty}}{1+\frac{4}{\infty^2}} = \frac01 = 0$

b)

Notwendige Bedingung:
$LaTeX: 8x^3-24ax=0 \Leftrightarrow x=0 \land 8x^2 = 24a \Leftrightarrow x=0 \land x=\sqrt{3a} \land x=-\sqrt{3a}$
Die hinreichende Bedingung ist nicht erforderlich, da aus den Extremstellen, der Nullstelle und der x-Achse als Asymptote folgt, dass die Funktion drei Wendestellen hat.
Für a=2 folgt: $LaTeX: x=\sqrt{6} \land x=-\sqrt{6}$

c)

$LaTeX: x=\sqrt{a} \land g(a)=\frac{2}{\sqrt{a}} \Leftrightarrow a=x^2 \land g(x)=\frac{2}{x}$
Für negative x-Werte ist g(x) die Funktion der Tiefpunkte, für positive x-Werte die Funktion der Hochpunkte. Jeder Punkt von x ist ein Extrempunkt der Scharkurven.

d)

Schnittpunkt