Aufgaben Analysis: Abi 2007 NRW LK HT 3 – Truth-Quark

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Gegeben ist die Funktionenschar f_a mit

$LaTeX: f_a(x)= \frac{4x}{x^2+a}$ , a > 0 .

Graph von f₁ (a=1)

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Für die zweite Ableitung gilt:

$LaTeX: f''_a(x)=frac{8x^3+24ax}{(x^2+a)^3}$ (kein Nachweis erforderlich).

a)

Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a den maximalen Definitionsbereich, die Null- und Extremstellen und begründen Sie, wie der Graph für $LaTeX: x \rightarrow \pm \infty$ verläuft.

b)

Bestimmen Sie die Wendestellen von f₂ (a=2)

c)

$LaTeX: T_a \left( \begin{array}{c|c} - \sqrt{a} & - \frac{2}{\sqrt{a}} \end{array}\right)$ und $LaTeX: H_a \left( \begin{array}{c|c} </p> <pre>\sqrt{a} & \frac{2}{\sqrt{a}} </pre> <p>\end{array}\right)$ sind die Extrempunkte des Graphen von f_a.

Geben Sie die Gleichung der Funktion g an, auf deren Graph alle Extrempunkte der Schar liegen.
Untersuchen Sie, ob jeder Punkt des Graphen von g auch ein Extrempunkt einer der Scharkurven ist. (Dabei wird für g der maximale Definitionsbereich zugrunde gelegt.)

d)

Der Graph von f₁ schließt mit der Geraden y = x eine im ersten Quadranten gelegene Fläche ein. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche.

e)

Die Strecke von T_a nach H_a soll die Seite eines Quadrats bilden.

Ermitteln Sie den Wert von a, für den der Flächeninhalt dieses Quadrats minimal wird.

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