Newtonsches Näherungsverfahren – Truth-Quark

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Das newtonsche Näherungsverfahren ist ein Verfahren, mit dem man Näherungen der Nullstellen einer Funktion berechnet. Dafür linearisiert man die Funktion an einer Stelle, die möglichst nah an einer Nullstelle liegen sollte, das heißt man bildet in dieser Stelle die Tangente der Funktion und berechnet die Nullstelle der Tangenten. An dieser Stelle bestimmt man wiederum die Tangente der Funktion und bestimmt die Nullstelle. Diesen Vorgang wiederholt man so lange, bis sich die Nullstelle der Tangenten kaum noch verändert.

Inhaltsverzeichnis

1 Herleitung der Gleichung
2 Beispiel
3 Lösen von Gleichungen mit dem newtonschen Näherungsverfahren
4 Probleme des Verfahrens

Herleitung der Gleichung

	$LaTeX: y$	$LaTeX: =m \cdot x+ s_y$	Die allgemeine Geradengleichung
	$LaTeX: f(x_n)$	$LaTeX: =f'(x_n) \cdot x_n+s_y$	Dies muss für die Tangente an der Stelle $LaTeX: x_n$ gelten,
$LaTeX: \Leftrightarrow$	$LaTeX: s_y$	$LaTeX: =f(x_n)-f'(x_n) \cdot x_n$	woraus sich dies für s_y ergiebt. (I.)
	$LaTeX: 0$	$LaTeX: =f'(x_n) \cdot x_{n+1}+n$	Die Nullstelle der Tangenten ergibt sich aus dieser Gleichung. (II.)
$LaTeX: \Rightarrow$	$LaTeX: 0$	$LaTeX: =f'(x_n) \cdot x_{n+1}+f(x_n)-f'(x_n) \cdot x_n$	Durch Einsetzen von I. in II.
$LaTeX: \Leftrightarrow$	$LaTeX: f'(x_n) \cdot x_{n+1}$	$LaTeX: = f'(x_n) \cdot x_n - f(x_n)$

Wenn die Steigung der Tangenten $LaTeX: f'(x_n) \ne 0$ ist, gilt also für die Nullstelle der Tangenten:
$LaTeX: x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Beispiel

An diesem Applet kann man sich das newtonsche Näherungsverfahren an einer Funktion der Form $LaTeX: f(x)=a \cdot x^4+b \cdot x^3+c \cdot x^2+d \cdot x+e$ verdeutlichen.

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Lösen von Gleichungen mit dem newtonschen Näherungsverfahren

Zum Lösen einer Gleichung muss man diese einfach so umformen, dass Null auf einer Seite steht und dann die andere Seite als die Funktion auffassen, deren Nullstellen man sucht.

Probleme des Verfahrens

Man sollte immer versuchen, schon mit dem Startwert relativ nah an der gesuchten Nullstelle zu sein. In einigen Fällen kann es bei dem Verfahren nämlich zum Oszillieren zwischen unterschiedlich vielen Werten kommen.

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