Ebenengleichung – Truth-Quark

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Inhaltsverzeichnis

1 Vektorielle Form
- 1.1 Parameterform
- 1.2 Normalenform
  - 1.2.1 Hesse'sche Normalenform
2 Koordinatenform

Vektorielle Form

Parameterform

Eine Ebene im $LaTeX: \mathbb R^3$ kann durch folgende Gleichung beschrieben werden, wobei $LaTeX: \vec x_0$ ein beliebiger Ortsvektor eines Punktes innerhalb der Ebene ist (der sogenannte Stützvektor) und $LaTeX: \vec u$ und $LaTeX: \vec v$ linear unabhängige Vektoren sind, die parallel zur Ebene verlaufen:

$LaTeX: E: \vec x = \vec x_0 + \lambda \cdot \vec u + \mu \cdot \vec v$

Anschaulich "springt" man mit dem Vektor $LaTeX: \vec x_0$ auf die Ebene und kann mit den beiden Vektoren $LaTeX: \vec u$ und $LaTeX: \vec v$ jeden Vektor parallel zur Ebene linear kombinieren. So lässt sich jeder Ortsvektor der Ebene mit bestimmten Parametern λ und μ kombinieren.

Normalenform

Da das Skalarprodukt von zwei senkrechten Vektoren gleich Null ist, ist eine Ebene im $LaTeX: \mathbb R^3$ durch folgende Gleichung beschrieben:

$LaTeX: E: (\vec x_0 - \vec x) \cdot n = 0$

$LaTeX: \vec x_0$ ist dabei ein beliebiger Ortsvektor innerhalb der Ebene. Die beschriebene Ebene ist die Ebene, die senkrecht zu $LaTeX: \vec n$ ist (Normalenvektor), da wenn der Vektor $LaTeX: \vec x_0 - \vec x$ senkrecht zu $LaTeX: \vec n$ ist, das Skalarprodukt Null ist.

Hesse'sche Normalenform

Die Hesse'sche Normalenform einer Ebene ist:

$LaTeX: E: (\vec x_0 - \vec x) \cdot n_0 = 0$

Dabei ist $LaTeX: \vec n_0$ der Normaleneinheitsvektor, d.h. $LaTeX: \left| \vec n_0 \right| = 1$ bzw. $LaTeX: \vec n_0 = \frac{1}{\left| \vec n \right|} \cdot \vec n$

Koordinatenform

Eine Ebene kann ebenfalls in der Form

$LaTeX: E: a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z = d$

ausgedrückt werden. Diese Fom kann man als ausmultiplizierte Form der Normalenform verstehen. Damit folgt aus der Koordinatenform direkt: $LaTeX: </p> <pre> \vec{n} = \begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix} </pre> <p>$
d ist demnach das Skalarprodukt von $LaTeX: \vec n$ mit einem beliebigen Ortsvektor der Ebene. Außerdem kann man durch Nullsetzen der entsprechenden Koordinaten schnell die Spurgeraden und Achsenschnittpunkte bestimmen. (Z.B. für die Spurgerade in der x/y-Ebene z=0 setzen, für den Schnittpunkt der x-Achse y und z=0 setzen.)