Systematisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme – Truth-Quark

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Wir lernen alle, dass sich Gleichungssysteme mit drei Verfahren lösen lassen. Dabei geht es bei diesen Verfahren immer darum Gleichungen mit weniger Variablen zu bekommen. Die drei Methoden sind:

Einsetzungsverfahren
Hierbei wird eine Gleichung nach einer Unbekannten aufgelöst, welche dann in die anderen Gleichungen eingesetzt wird. Das wiederholt man so lange bis nur noch eine Variable in einer Gleichung vorhanden ist.

Gleichsetzungsverfahren
Hierbei löst man zwei Gleichungen nach der selben Variablen auf und setzt diese dann gleich. (Auch nur eine Form des Einsetzungsverfahrens)

Additionsverfahren
Bei diesem häufig benutzten Verfahren, addiert man Gleichungen so das eine Variable weg fällt.

Da in der Regel dieses Verfahren Verwendung findet, wird es hier näher erläutert.

Gaußsches Eliminierungsverfahren

Wendet man das Additionsverfahren konsequent an und schreibt es schön untereinander erhält man das gaußsche Eliminierungsverfahren. Hier wird an einem Bespiel gezeigt, wie das konkret aussehen kann:

I	$LaTeX: x_1$	$LaTeX: + x_2$	$LaTeX: + x_3$	$LaTeX: = 2$	$LaTeX: \cdot 6$
II	$LaTeX: 2x_1$	$LaTeX: + 3x_2$	$LaTeX: + 4x_3$	$LaTeX: = 5$	$LaTeX: \cdot 3$
III	$LaTeX: 3x_1$	$LaTeX: + 2x_2$	$LaTeX: +9 x_3$	$LaTeX: = 4$	$LaTeX: \cdot 2$

Ia	$LaTeX: 6x_1$	$LaTeX: + 6x_2$	$LaTeX: + 6x_3$	$LaTeX: = 12$
IIa	$LaTeX: 6x_1$	$LaTeX: + 9x_2$	$LaTeX: + 12x_3$	$LaTeX: = 15$
IIIa	$LaTeX: 6x_1$	$LaTeX: + 4x_2$	$LaTeX: + 18x_3$	$LaTeX: = 8$

Ia	$LaTeX: 6x_1$	$LaTeX: + 6x_2$	$LaTeX: + 6x_3$	$LaTeX: = 12$
Ia-IIa	$LaTeX: 0x_1$	$LaTeX: - 3x_2$	$LaTeX: - 6x_3$	$LaTeX: = -3$	$LaTeX: \cdot 2$
Ia-IIIa	$LaTeX: 0x_1$	$LaTeX: + 2x_2$	$LaTeX: - 12x_3$	$LaTeX: = 4$	$LaTeX: \cdot 3$

Ia	$LaTeX: 6x_1$	$LaTeX: + 6x_2$	$LaTeX: + 6x_3$	$LaTeX: = 12$
IIb	$LaTeX: 0x_1$	$LaTeX: - 6x_2$	$LaTeX: - 12x_3$	$LaTeX: = -6$
IIIb	$LaTeX: 0x_1$	$LaTeX: + 6x_2$	$LaTeX: - 36x_3$	$LaTeX: = 12$

Ia	$LaTeX: 6x_1$	$LaTeX: + 6x_2$	$LaTeX: + 6x_3$	$LaTeX: = 12$
IIb	$LaTeX: 0x_1$	$LaTeX: - 6x_2$	$LaTeX: - 12x_3$	$LaTeX: = -6$
IIb+IIIb	$LaTeX: 0x_1$	$LaTeX: + 0x_2$	$LaTeX: - 48x_3$	$LaTeX: = 6$	$LaTeX: : (-48)$

Ia	$LaTeX: 6x_1$	$LaTeX: + 6x_2$	$LaTeX: + 6x_3$	$LaTeX: = 12$	Hier setzen wir nun den Wert für $LaTeX: x_3$ und $LaTeX: x_2$ ein und lösen nach $LaTeX: x_1$ auf.
IIb	$LaTeX: 0x_1$	$LaTeX: - 6x_2$	$LaTeX: - 12x_3$	$LaTeX: = -6$	Hier setzen wir nun den Wert für $LaTeX: x_3$ ein und lösen nach $LaTeX: x_2$ auf.
IIIc	$LaTeX: 0x_1$	$LaTeX: + 0x_2$	$LaTeX: + 1x_3$	$LaTeX: = -0,125$

Ic	$LaTeX: 1x_1$	$LaTeX: + 0x_2$	$LaTeX: + 0x_3$	$LaTeX: = 0,875$
IIc	$LaTeX: 0x_1$	$LaTeX: + 1x_2$	$LaTeX: + 0x_3$	$LaTeX: = 1,25$
IIIc	$LaTeX: 0x_1$	$LaTeX: + 0x_2$	$LaTeX: + 1x_3$	$LaTeX: = -0,125$

Mit diesem Verfahren kommt man immer zum Ziel, was jedoch nicht bedeutet, dass es nur eine Lösung für ein Gleichungssystem geben muss. Beispiele für die andern Fälle (keine Lösung, unendlich viele Lösungen, noch mehr Lösungen) kommen noch. Bei der Anwendung lässt man je nach Kopfrechenkünsten die Zwischenschritte weg, in denen die Gleichungen nur multipliziert werden und addiert direkt. Wie dem aufmerksamen Leser sicher aufgefallen ist, addieren wir nicht immer, sondern subtrahieren auch. Das geht genauso, denn es macht keinen Unterschied ob man eine Gleichung erst mit -1 multipliziert und dann addiert oder auch direkt subtrahiert. (Natürlich dürfte man auch zwei Gleichungen multiplizieren oder dividieren. Das ist hier jedoch nicht sinnvoll.)

Matrix-Vektor-Schreibweise

Die Matrix-Vektor-Schreibweise funktioniert genauso wie das gaußsche Eliminierungsverfahren, spart aber etwas Schreibarbeit, da man die Variablen weg lässt.
Das Gleichungssystem

$LaTeX: x_1$	$LaTeX: + x_2$	$LaTeX: + x_3$	$LaTeX: = 2$
$LaTeX: 2x_1$	$LaTeX: + 3x_2$	$LaTeX: + 4x_3$	$LaTeX: = 5$
$LaTeX: 3x_1$	$LaTeX: + 2x_2$	$LaTeX: +9 x_3$	$LaTeX: = 4$

lässt sich auch schreiben als $LaTeX: \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}$ oder noch kürzer als $LaTeX: \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 4 & 5\\ 3 & 2 & 9 & 4 \end{array}\right)$
Zur Lösung wird wieder das gaußsche Eliminierungsverfahren verwendet.