Integrationsregeln – Truth-Quark

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(Unterschied zwischen Versionen)

Version vom 20:00, 10. Apr. 2009

Es gibt eine Reihe von Regeln um Stammfunktionen einer Funktion zu finden. Diese werden hier mit Bespielen erklärt, jedoch nicht bewiesen. Eine Herleitung der Integrationsregeln wird für das Abitur wahrscheinlich nicht notwendig sein, wird jedoch bald hinzugefügt. Die Regeln zur Integration sind meist daraus hergeleitet, dass eine beliebige Funktion die Ableitung ihrer Stammfunktion ist.

Potenzregel

Ist die Funktion $LaTeX: f(x) = x^n$ , gilt für das unbestimmte Integral dieser Funktion $LaTeX: F(x)= \int\nolimits f(x)\,dx = \frac 1 {n+1} \cdot x^{n+1}$

Beispiele

Stammfunktion
$LaTeX: f(x) = x^5$
$LaTeX: F(x) = \frac 1 6\cdot x^6$
$LaTeX: f(x) = x^{\frac 3 2}$
$LaTeX: F(x) = \frac 2 5 \cdot x^{\frac 5 2}$
$LaTeX: f(x) = x^{-2}$
$LaTeX: F(x) = - x^{-1}$

Zur Herleitung der Integrationsregeln.

Faktorregel

Ist $LaTeX: g(x)=k \cdot f(x)$ , so gilt $LaTeX: \int\nolimits g(x) \,dx = \int\nolimits k \cdot f(x) \,dx = k \cdot \int\nolimits f(x) \,dx$

Beispiele

Stammfunktion
$LaTeX: f(x) = 4\cdot x^5$
$LaTeX: F(x) = 4\cdot \frac 1 6\cdot x^6$
$LaTeX: f(x) = -3\cdot x^{\frac 3 2}$
$LaTeX: F(x) = -3 \cdot \frac 2 5 \cdot x^{\frac 5 2} = - \frac 6 5 \cdot x^{\frac 5 2}$
$LaTeX: f(x) = -3\cdot x^{-2}$
$LaTeX: F(x) = 3\cdot x^{-1}$

Zur Herleitung der Integrationsregeln.

Summenregel

Sind zwei Funktionen g und h mit der Summenfunktion f gegeben mit $LaTeX: f = g + h$ , so gilt: $LaTeX: \int\nolimits f = \int\nolimits ( g + h ) = \int\nolimits g + \int\nolimits h$

Beispiele

Stammfunktion
$LaTeX: f(x) = x^5 + 3\cdot x^4$
$LaTeX: F(x) = \frac 16 x^6 + \frac 3 5 x^5$
$LaTeX: f(x) = x^2 + x^{\frac 3 2}$
$LaTeX: F(x) = \frac 1 3 x^3 + \frac 2 5 \cdot x^{\frac 5 2}$
$LaTeX: f(x) = x^{-4} - x^{-2}$
$LaTeX: F(x) = - \frac 1 3 x^{-3} + x^{-1})$

Zur Herleitung der Integrationsregeln.

Partielle Integration

Die Regel zur partiellen Integration leitet sich aus der Produktregel zur Ableitung her. Ist eine Funktion gegeben mit $LaTeX: f = u' \cdot v$ so gilt: $LaTeX: \int f= \int u' \cdot v = u \cdot v - \int u \cdot v'$
Mit dieser Regel lässt sich ein Integral zwar nicht in einem Schritt lösen, aber oft auf eine handlichere Form bringen.

Beispiele

Stammfunktion	Anmerkung
$LaTeX: f(x) = x \cdot sin(x)$
$LaTeX: F(x) = x \cdot -cos(x) - \int - cos(x) \,dx = - x \cdot cos(x) + sin(x)$	Die Ableitung von sin(x) ist cos(x), die Ableitung von cos(x) ist -sin(x). Siehe Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen.
$LaTeX: f(x) = x^{2} \cdot e^x$
$LaTeX: F(x) = x^{2} \cdot e^x - \int 2 x \cdot e^x \,dx = x^{2} \cdot e^x - 2 x \cdot e^x + 2 e^x$	Die Ableitung von $LaTeX: e^x$ ist $LaTeX: e^x$ . Siehe Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen.

Zur Herleitung der Integrationsregeln.

Substitutionsregel

Die Substitutionsregel lautet für ein unbestimmtes Integral:
$LaTeX: \int u(v(t)) \cdot v'(t)\,dt = \int u(x)\,dx$
Und für ein bestimmtes Integral:
$LaTeX: \int\limits_{a}^{b} u(v(t)) \cdot v'(t)\,dt = \int\limits_{v(a)}^{v(b)} u(x)\,dx$
Anwendung:
Bei einem beliebigen Integral $LaTeX: \int f(x)\,dx$ setzt man einen günstigen Teil der Funktion gleich h(x). Dann gilt nach dem Differenzenquotienten:
$LaTeX: h'(x) = \frac {dh}{dx}$ ,also:
$LaTeX: dx=\frac {dh}{h'(x)}$
Man setzt nun in das ursprüngliche Integral so ein, dass eine Funktion in Abhängigkeit von h herauskommt, die einfach integriert werden kann.

Beispiele

äußere Funktion g(h)	innere Funktion h(x)	h'(x)	substituiertes Integral	gelöstes Integral	Anmerkung
$LaTeX: \int f(x)\,dx =\int x \cdot \sqrt{x^2-1}\,dx$
$LaTeX: g(h) = \sqrt{h}$	$LaTeX: h(x) = x^2-1$	$LaTeX: h'(x) = 2x = \frac{dh}{dx}$ $LaTeX: dx = \frac{dh}{2 \sqrt{h+1}}$	$LaTeX: \int \frac{\sqrt{h}}{2}\,dh$	$LaTeX: \frac13 h^{\frac32}= \frac13 \sqrt{x^2-1}^{3}$
$LaTeX: \int f(x)\,dx = \int sin(2x+1)\,dx$
$LaTeX: g(h) = sin(h)$	$LaTeX: h(x) = 2x + 1$	$LaTeX: h'(x) = 2 = \frac{dh}{dx}$ $LaTeX: dx=\frac{dh}{2}$	$LaTeX: \int \frac12 sin(h)\,dh$	$LaTeX: - \frac12 cos(2x + 1)$	Die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Siehe hier.
$LaTeX: \int f(x)\,dx=\int x \cdot e^{x^2 + 2x} + e^{x^2 + 2x} \,dx$
$LaTeX: g(h) = e^h$	$LaTeX: h(x) = x^2 + 2x$	$LaTeX: h'(x) = 2x + 2 = \frac {dh}{dx}$ $LaTeX: dx=\frac {dh}{2x + 2}$	$LaTeX: \int \frac { x \cdot e^h + e^h}{2x+2} \,dh$ $LaTeX: =\int \frac {1}{2} e^h\,dh$	$LaTeX: \frac {1}{2} e^h=$ $LaTeX: \frac {1}{2}e^{x^2 + 2x}$	Die Ableitung von e^x ist e^x. Siehe hier.

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 |-
 ! style="border-bottom: 1px dashed #009900;" |  äußere Funktion g(h)
-! style="border-bottom: 1px dashed #3333ee;" |  innere Funktion h(x)
+! style="border-bottom: 1px dashed #3333ee;" |  innere Funktion h(x) <!-- ! style="border-bottom: 1px dashed #33ee33;" | x -->
-! style="border-bottom: 1px dashed #33ee33;" | x
 ! style="border-bottom: 1px dashed #7777ff;" | h'(x)
 ! style="border-bottom: 1px dashed #ee3333;" | substituiertes Integral
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 | style="border: 1px dashed #009900;" | <math>g(h) = \sqrt{h}</math>
 | style="border: 1px dashed #3333ee;" |  <math>h(x) = x^2-1</math>
-| style="border: 1px dashed #33ee33;" |  <math>x=\sqrt{h+1}</math>
 | style="border: 1px dashed #7777ff;" | <math>h'(x) = 2x = \frac{dh}{dx}</math><br /> <math>dx = \frac{dh}{2 \sqrt{h+1}}</math>
-| style="border: 1px dashed #ee3333;" |  <math>\int  \frac{\sqrt{h+1}\cdot\sqrt{h}}{2 \sqrt{h+1}}\,dh</math>
+| style="border: 1px dashed #ee3333;" |  <math>\int  \frac{\sqrt{h}}{2}\,dh</math>
 | style="border: 1px dashed #000000;" | <math>\frac13 h^{\frac32}= \frac13 \sqrt{x^2-1}^{3}</math>
 |
 |-
-| colspan="6" | <br /> <math>\int f(x)\,dx = \int sin(2x+1)+x\,dx</math>
+| colspan="6" | <br /> <math>\int f(x)\,dx = \int sin(2x+1)\,dx</math>
 |-
 | style="border: 1px dashed #009900;" | <math>g(h) = sin(h)</math>
 | style="border: 1px dashed #3333ee;" | <math>h(x) = 2x + 1</math>
-| style="border: 1px dashed #33ee33;" | <math>x = \frac{h-1}{2}</math>
 | style="border: 1px dashed #7777ff;" |<math>h'(x) = 2 = \frac{dh}{dx}</math><br /><math>dx=\frac{dh}{2}</math>
-| style="border: 1px dashed #ee3333;" | <math>\int \frac12 sin(h)+ \frac{h-1}{2} \,dh</math>
+| style="border: 1px dashed #ee3333;" | <math>\int \frac12 sin(h)\,dh</math>
-| style="border: 1px dashed #000000;" | <math>- \frac12 cos(h) + \frac14 h^2 + \frac12 h</math><br />
+| style="border: 1px dashed #000000;" |<math>- \frac12 cos(2x + 1)</math>
-<math>=- \frac12 cos(2x + 1)+x^2+\frac32 x+\frac34</math>
 | style="border: 1px dashed #ff8800;" |   Die Ableitung von '''sin(x)''' ist '''cos(x)'''. Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen|hier]].
 |-
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 | style="border: 1px dashed #009900;" | <math>g(h) = e^h</math>
 | style="border: 1px dashed #3333ee;" |  <math>h(x) = x^2 + 2x</math>
-|
 | style="border: 1px dashed #7777ff;" |<math>h'(x) = 2x + 2 = \frac {dh}{dx}</math><br /><math>dx=\frac {dh}{2x + 2}</math>
 | style="border: 1px dashed #ee3333;" | <math>\int \frac { x \cdot e^h  + e^h}{2x+2} \,dh</math><br /><math>=\int \frac {1}{2} e^h\,dh</math>