Newtonsches Näherungsverfahren – Truth-Quark

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Version vom 19:37, 1. Apr. 2009

Das newtonsche Näherungsverfahren ist ein Verfahren, mit dem man Näherungen der Nullstellen einer Funktion berechnet. Dafür linearisiert man die Funktion an einer Stelle, die möglichst nah an einer Nullstelle liegen sollte, das heißt man bildet in dieser Stelle die Tangente der Funktion und berechnet die Nullstelle der Tangenten. An dieser Stelle bestimmt man wiederum die Tangente der Funktion und bestimmt die Nullstelle. Diesen Vorgang wiederholt man so lange, bis sich die Nullstelle der Tangenten kaum noch verändert.

	$LaTeX: y$	$LaTeX: =m \cdot x+ s_y$	Die allgemeine Geradengleichung
	$LaTeX: f(x_n)$	$LaTeX: =f'(x_n) \cdot x_n+s_y$	Dies muss für die Tangente an der Stelle $LaTeX: x_n$ gelten,
$LaTeX: \Leftrightarrow$	$LaTeX: s_y$	$LaTeX: =f(x_n)-f'(x_n) \cdot x_n$	woraus sich dies für s_y ergiebt. (I.)
	$LaTeX: 0$	$LaTeX: =f'(x_n) \cdot x_{n+1}+n$	Die Nullstelle der Tangenten ergibt sich aus dieser Gleichung. (II.)
$LaTeX: \Rightarrow$	$LaTeX: 0$	$LaTeX: =f'(x_n) \cdot x_{n+1}+f(x_n)-f'(x_n) \cdot x_n$	Durch Einsetzen von I. in II.
$LaTeX: \Leftrightarrow$	$LaTeX: f'(x_n) \cdot x_{n+1}$	$LaTeX: = f'(x_n) \cdot x_n - f(x_n)$

Wenn die Steigung der Tangenten $LaTeX: f'(x_n) \ne 0$ ist, gilt also für die Nullstelle der Tangenten: $LaTeX: x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
An diesem Applet kann man sich das Newtonsche Näherungsverfahren an einer Funktion der Form $LaTeX: f(x)=a \cdot x^4+b \cdot x^3+c \cdot x^2+d \cdot x+e$ verdeutlichen.

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