Ableitungsregeln – Truth-Quark

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(Unterschied zwischen Versionen)

Aktuelle Version vom 20:09, 10. Apr. 2009

Es gibt eine Reihe von Regeln um Funktionen abzuleiten. Diese werden hier mit Bespielen erklärt, jedoch nicht bewiesen. Eine Herleitung der Ableitungsregeln wird für das Abitur wahrscheinlich nicht notwendig sein, wird jedoch bald hinzugefügt. Bei allen hier verwendeten Funktionen ist darauf zu achten, dass diese für die Stelle x differenzierbar sein müssen.

Potenzregel

Ist die Funktion $LaTeX: f(x) = x^n$ an der Stelle x differenzierbar gilt für diese $LaTeX: f'(x) = n\cdot x^{n-1}$

Beispiele

Ableitung	dies gilt für
$LaTeX: f(x) = x^5$
$LaTeX: f'(x) = 5\cdot x^4$	für alle x € R
$LaTeX: f(x) = x^{\frac 3 2}$
$LaTeX: f'(x) = \frac 3 2 \cdot x^{\frac 1 2}$	für alle x € R>0
$LaTeX: f(x) = x^{-2}$
$LaTeX: f'(x) = -2\cdot x^{-3}$	für alle x € R

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.

Faktorregel

Ist g eine differenzierbare Funktion, so ist auch $LaTeX: f(x) = k\cdot g(x)$ (k € R) differenzierbar und es gilt $LaTeX: f'(x) = k \cdot g'(x)$

Beispiele

Ableitung	dies gilt für
$LaTeX: f(x) = 4\cdot x^5$
$LaTeX: f'(x) = 5\cdot 4\cdot x^4 = 20\cdot x^4$	für alle x € R
$LaTeX: f(x) = -3\cdot x^{\frac 3 2}$
$LaTeX: f'(x) = -\frac 9 2 \cdot x^{\frac 1 2}$	für alle x € R>0
$LaTeX: f(x) = -3\cdot x^{-2}$
$LaTeX: f'(x) = 6\cdot x^{-3}$	für alle x € R

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.

Summenregel

Sind zwei Funktionen g(x) und h(x) an der Stelle x differenzierbar, so ist an dieser Stelle auch die Summenfunktion f(x) mit $LaTeX: f(x) = g(x) + h(x)$ differenzierbar. Es gilt: $LaTeX: f'(x) = g'(x) + h'(x)$

Beispiele

Ableitung	dies gilt für
$LaTeX: f(x) = x^5 + 3\cdot x^4$
$LaTeX: f'(x) = 5\cdot x^4 + 12\cdot x^3$	für alle x € R
$LaTeX: f(x) = x^2 + x^{\frac 3 2}$
$LaTeX: f'(x) = 2\cdot x + \frac 3 2 \cdot x^{\frac 1 2}$	für alle x € R>0
$LaTeX: f(x) = x^{-4} - x^{-2}$
$LaTeX: f'(x) = -4\cdot x^{-5} - (-2\cdot x^{-3})$	für alle x € R

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.

Produktregel

Sind zwei Funktionen u(x) und v(x) an der Stelle x differenzierbar, ist auch die Funktion f(x) für die gilt $LaTeX: f(x) = u(x) \cdot v(x)$ , an dieser Stelle differenzieber. Es gilt: $LaTeX: f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

Beispiele

Ableitung	Anmerkung
$LaTeX: f(x) = x^5 \cdot x^3$
$LaTeX: f'(x) = 5\cdot x^4\cdot x^3 + x^5 \cdot 3 \cdot x^2$	Dies dient nur zur Verdeutlichung der Regel. Man würde hier $LaTeX: f(x) = x^8$ ableiten.
$LaTeX: f(x) = x \cdot sin(x)$
$LaTeX: f'(x) = 1 \cdot sin(x) + x \cdot cos(x)$	Die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Siehe Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen.
$LaTeX: f(x) = x^{-2} \cdot e^x$
$LaTeX: f'(x) = -2\cdot x^{-3} \cdot e^x + x^{-2} \cdot e^x$	Die Ableitung von e^x ist e^x. Siehe Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen.

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.

Kettenregel

Die Kettenregel wird benötigt um verkettete Funktionen abzuleiten. Ein Beispiel hierfür ist $LaTeX: f(x) = \sqrt{x^2-1}$ . Auch nützlich kann die Kettenregel sein, wenn sich eine Ableitung sonst nur durch erheblichen aufwand ermitteln liese, wie zum Beispiel bei $LaTeX: f(x) = (x^2+x)^{50}$ Ist die Funktion v(x) an der Stelle x und u(v(x)) an der Stelle x differenzierbar gilt für f(x) = u(v(x)): $LaTeX: f'(x) = v'(x) \cdot u'(v(x))$

Beispiele

äußere Funktion u(v)	innere Funktion v(x)	u'(v)	v'(x)	komplette Ableitung	Anmerkung
$LaTeX: f(x) = \sqrt{x^2-1}$
$LaTeX: u(v) = \sqrt{v}$	$LaTeX: v(x) = x^2-1$	$LaTeX: u'(v) = \frac 1 {\sqrt{v}}$	$LaTeX: v'(x) = 2x$	$LaTeX: f'(x) = 2x\cdot \frac 1 {\sqrt{x^2-1}}$
$LaTeX: f(x) = (x^2 + x)^{50}$
$LaTeX: u(v) = v^{50}$	$LaTeX: v(x) = x^2 + x$	$LaTeX: u'(v) = 50 \cdot v^{49}$	$LaTeX: v'(x) = 2\cdot x + 1$	$LaTeX: f'(x) = (2x+1) \cdot 50 \cdot (x^2+x)^{49}$
$LaTeX: f(x) = sin(2x+1)$
$LaTeX: u(v) = sin(v)$	$LaTeX: v(x) = 2x + 1$	$LaTeX: u'(v) = cos(v)$	$LaTeX: v'(x) = 2$	$LaTeX: f'(x) = 2 \cdot cos(2x+1)$	Die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Siehe Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen.
$LaTeX: f(x) = e^{x^2 + 2x}$
$LaTeX: u(v) = e^v$	$LaTeX: v(x) = x^2 + 2x$	$LaTeX: u'(v) = e^v$	$LaTeX: v'(x) = 2x + 2$	$LaTeX: f'(x) = (2x + 2)\cdot e^{x^2 + 2x}$	Die Ableitung von e^x ist e^x. Siehe Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen.

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.

Quotientenregel

Die Quotientenregel vereinfacht, das Ableiten von Brüchen, welche sich jedoch auch durch die Produktregel ableiten lassen. Ist die Funktion f(x) gegeben durch $LaTeX: f(x) = \frac {u(x)} {v(x)}$ so gilt: $LaTeX: f'(x) = \frac {u'(x)\cdot v(x) - u(x)\cdot v'(x)} {v^2(x)}$

Beispiele

u(x)	v(x)	u'(x)	v'(x)	gesamte Ableitung
$LaTeX: f(x) = \frac {x^2+3}{x^3-x^2}$
$LaTeX: u(x) = x^2+3$	$LaTeX: v(x) = x^3-x^2$	$LaTeX: u'(x) = 2x$	$LaTeX: v'(x) = 3x^2-2x$	$LaTeX: f'(x) = \frac {2x\cdot (x^3-x^2) - (x^2+3)\cdot (3x^2-2x)}{(x^3-x^2)^2}$

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.

Wendet man diese Regel an und beabsichtigt mehrere Ableitungen anzufertigen, sollte man darauf achten, dass man spätestens bei der 2. Ableitung kürzen kann.

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 !  style="border-bottom: 1px dashed #ff8800;" | dies gilt für
 |-
-| colspan="2" style="border-top: 1px solid #000;" | <br /><math>f(x) = x^5</math>
+| colspan="2" | <br /><math>f(x) = x^5</math>
 |-
 |  style="border: 1px dashed #ee3333;" | <math>f'(x) = 5\cdot x^4</math>
 |  style="border: 1px dashed #ff8800;" | für alle x € R
 |-
-| colspan="2" style="border-top: 1px solid #000;" |  <br /><math>f(x) = x^{\frac 3 2}</math>
+| colspan="2"  |  <br /><math>f(x) = x^{\frac 3 2}</math>
 |-
 | style="border: 1px dashed #ee3333;" |  <math>f'(x) = \frac 3 2 \cdot  x^{\frac 1 2}</math>
 | style="border: 1px dashed #ff8800;" |  für alle x € R>0
 |-
-| colspan="2"  style="border-top: 1px solid #000;" |  <br /><math>f(x) = x^{-2}</math>
+| colspan="2"   |  <br /><math>f(x) = x^{-2}</math>
 |-
 | style="border: 1px dashed #ee3333;" |  <math>f'(x) = -2\cdot x^{-3}</math>
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 ! style="border-bottom: 1px dashed #ff8800;" |  dies gilt für
 |-
-| colspan="2"  style="border-top: 1px solid #000;" |  <math>f(x) = x^5 + 3\cdot x^4</math>
+| colspan="2"  |  <br /><math>f(x) = x^5 + 3\cdot x^4</math>
 |-
 |  style="border: 1px dashed #ee3333;" | <math>f'(x) = 5\cdot x^4 + 12\cdot x^3</math>
 | style="border: 1px dashed #ff8800;" |  für alle x € R
 |-
-| colspan="2" style="border-top: 1px solid #000;" |  <math>f(x) = x^2 + x^{\frac 3 2}</math>
+| colspan="2" | <br /> <math>f(x) = x^2 + x^{\frac 3 2}</math>
 |-
 | style="border: 1px dashed #ee3333;" |  <math>f'(x) = 2\cdot x + \frac 3 2 \cdot  x^{\frac 1 2}</math>
 | style="border: 1px dashed #ff8800;" |  für alle x € R>0
 |-
-|  colspan="2" style="border-top: 1px solid #000;" | <math>f(x) = x^{-4} - x^{-2}</math>
+|  colspan="2" | <br /><math>f(x) = x^{-4} - x^{-2}</math>
 |-
 | style="border: 1px dashed #ee3333;" |  <math>f'(x) = -4\cdot x^{-5} - (-2\cdot x^{-3})</math>
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 ! style="border-bottom: 1px dashed #ff8800;" |  Anmerkung
 |-
-| colspan="2" style="border-top: 1px solid #000;" |  <math>f(x) = x^5 \cdot  x^3</math>
+| colspan="2" | <br /> <math>f(x) = x^5 \cdot  x^3</math>
 |-
 |  style="border: 1px dashed #ee3333;" | <math>f'(x) = 5\cdot x^4\cdot x^3 + x^5 \cdot  3 \cdot  x^2</math>
 | style="border: 1px dashed #ff8800;" |  Dies dient nur zur Verdeutlichung der Regel. Man würde hier <math>f(x) = x^8</math> ableiten.
 |-
-| colspan="2" style="border-top: 1px solid #000;" |  <math>f(x) = x \cdot  sin(x)</math>
+| colspan="2" | <br /> <math>f(x) = x \cdot  sin(x)</math>
 |-
 |  style="border: 1px dashed #ee3333;" | <math>f'(x) = 1 \cdot  sin(x) + x \cdot  cos(x)</math>
-|  style="border: 1px dashed #ff8800;" | Die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
+|  style="border: 1px dashed #ff8800;" | Die Ableitung von '''sin(x)''' ist '''cos(x)'''. Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
 |-
-| colspan="2" style="border-top: 1px solid #000;" |  <math>f(x) = x^{-2} \cdot  e^x</math>
+| colspan="2" | <br /> <math>f(x) = x^{-2} \cdot  e^x</math>
 |-
 | style="border: 1px dashed #ee3333;" |  <math>f'(x) = -2\cdot x^{-3} \cdot  e^x + x^{-2} \cdot e^x</math>
-| style="border: 1px dashed #ff8800;" |  Die Ableitung von <math>e^x</math> ist <math>e^x</math>. Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
+| style="border: 1px dashed #ff8800;" |  Die Ableitung von '''e<sup>x</sup>''' ist '''e<sup>x</sup>'''. Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
 |}
 Zur [[Herleitung der Ableitungsregeln]].
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 {|
 |-
-! style="border-bottom: 1px dashed #009900;" |  äußere Funktion u(z)
+! style="border-bottom: 1px dashed #009900;" |  äußere Funktion u(v)
 ! style="border-bottom: 1px dashed #3333ee;" |  innere Funktion v(x)
-! style="border-bottom: 1px dashed #33ee33;" | u'(z)
+! style="border-bottom: 1px dashed #33ee33;" | u'(v)
 ! style="border-bottom: 1px dashed #7777ff;" | v'(x)
 ! style="border-bottom: 1px dashed #ee3333;" |  komplette Ableitung
 ! style="border-bottom: 1px dashed #ff8800;" |  Anmerkung
 |-
-| colspan="6" style="border-top: 1px solid #000;" |  <math>f(x) = \sqrt{x^2-1}</math>
+| colspan="6" |  <br /><math>f(x) = \sqrt{x^2-1}</math>
 |-
-| style="border: 1px dashed #009900;" | <math>u(z) = \sqrt{z}</math>
+| style="border: 1px dashed #009900;" | <math>u(v) = \sqrt{v}</math>
 | style="border: 1px dashed #3333ee;" |  <math>v(x) = x^2-1</math>
-| style="border: 1px dashed #33ee33;" |  <math>u'(z) = \frac 1 {\sqrt{z}}</math>
+| style="border: 1px dashed #33ee33;" |  <math>u'(v) = \frac 1 {\sqrt{v}}</math>
 | style="border: 1px dashed #7777ff;" | <math>v'(x) = 2x</math>
 | style="border: 1px dashed #ee3333;" |  <math>f'(x) = 2x\cdot \frac 1 {\sqrt{x^2-1}}</math>
 |
 |-
-| colspan="6" style="border-top: 1px solid #000;" |  <math>f(x) = (x^2 + x)^{50}</math>
+| colspan="6" |  <br /><math>f(x) = (x^2 + x)^{50}</math>
 |-
-| style="border: 1px dashed #009900;" | <math>u(z) = z^{50}</math>
+| style="border: 1px dashed #009900;" | <math>u(v) = v^{50}</math>
 | style="border: 1px dashed #3333ee;" |  <math>v(x) = x^2 + x</math>
-| style="border: 1px dashed #33ee33;" |  <math>u'(z) = 50 \cdot  z^{49}</math>
+| style="border: 1px dashed #33ee33;" |  <math>u'(v) = 50 \cdot  v^{49}</math>
 | style="border: 1px dashed #7777ff;" | <math>v'(x) = 2\cdot x + 1</math>
 | style="border: 1px dashed #ee3333;" | <math>f'(x) = (2x+1) \cdot  50 \cdot  (x^2+x)^{49}</math>
 |
 |-
-| colspan="6" style="border-top: 1px solid #000;" |  <math>f(x) = sin(2x+1)</math>
+| colspan="6" | <br /> <math>f(x) = sin(2x+1)</math>
 |-
-| style="border: 1px dashed #009900;" | <math>u(z) = sin(z)</math>
+| style="border: 1px dashed #009900;" | <math>u(v) = sin(v)</math>
 | style="border: 1px dashed #3333ee;" | <math>v(x) = 2x + 1</math>
-| style="border: 1px dashed #33ee33;" | <math>u'(z) = cos(z)</math>
+| style="border: 1px dashed #33ee33;" | <math>u'(v) = cos(v)</math>
 | style="border: 1px dashed #7777ff;" |<math>v'(x) = 2</math>
 | style="border: 1px dashed #ee3333;" | <math>f'(x) = 2 \cdot  cos(2x+1)</math>
-| style="border: 1px dashed #ff8800;" |   Die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
+| style="border: 1px dashed #ff8800;" |   Die Ableitung von '''sin(x)''' ist '''cos(x)'''. Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
 |-
-| colspan="6" style="border-top: 1px solid #000;" | <math>f(x) = e^{x^2 + 2x}</math>
+| colspan="6" | <br /><math>f(x) = e^{x^2 + 2x}</math>
 |-
-| style="border: 1px dashed #009900;" | <math>u(z) = e^z</math>
+| style="border: 1px dashed #009900;" | <math>u(v) = e^v</math>
 | style="border: 1px dashed #3333ee;" |  <math>v(x) = x^2 + 2x</math>
-| style="border: 1px dashed #33ee33;" | <math>u'(z) = e^z</math>
+| style="border: 1px dashed #33ee33;" | <math>u'(v) = e^v</math>
 | style="border: 1px dashed #7777ff;" |<math>v'(x) = 2x + 2</math>
 | style="border: 1px dashed #ee3333;" | <math>f'(x) = (2x + 2)\cdot e^{x^2 + 2x}</math>
-| style="border: 1px dashed #ff8800;" | Die Ableitung von e<sup>x</sup> ist e<sup>x</sup>. Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
+| style="border: 1px dashed #ff8800;" | Die Ableitung von '''e<sup>x</sup>''' ist '''e<sup>x</sup>'''. Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
 |}
 Zur [[Herleitung der Ableitungsregeln]].
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 !  style="border-bottom: 1px dashed #ee3333;" | gesamte Ableitung
 |-
-| colspan="5" style="border-top: 1px solid #000;" | <math>f(x) = \frac {x^2+3}{x^3-x^2}</math>
+| colspan="5" | <br /><math>f(x) = \frac {x^2+3}{x^3-x^2}</math>
 |-
 |  style="border: 1px dashed #009900;" | <math>u(x) = x^2+3</math>