Ableitungsregeln

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Es gibt eine Reihe von Regeln um Funktionen abzuleiten. Diese werden hier mit Bespielen erklärt, jedoch nicht bewiesen. Eine Herleitung wird für das Abitur wahrscheinlich nicht notwendig sein, ist jedoch bald [[hier]] nachzulesen.
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[[Kategorie: Analysis]]
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Es gibt eine Reihe von Regeln um Funktionen abzuleiten. Diese werden hier mit Bespielen erklärt, jedoch nicht bewiesen. Eine [[Herleitung der Ableitungsregeln]] wird für das Abitur wahrscheinlich nicht notwendig sein, wird jedoch bald hinzugefügt.
Bei allen hier verwendeten Funktionen ist darauf zu achten, dass diese für die Stelle x differenzierbar sein müssen.
Bei allen hier verwendeten Funktionen ist darauf zu achten, dass diese für die Stelle x differenzierbar sein müssen.
== Potenzregel ==
== Potenzregel ==
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Ist die Funktion <math>f(x) = x^n</math> an der Stelle x differenzierbar gilt für diese <math>f'(x) = n*x^{n-1}</math>
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Ist die Funktion <math>f(x) = x^n</math> an der Stelle x differenzierbar gilt für diese <math>f'(x) = n\cdot x^{n-1}</math>
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'''Beispiele'''
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Zur [[Herleitung]].
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Zur [[Herleitung der Ableitungsregeln]].
== Faktorregel ==
== Faktorregel ==
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Ist g eine differenzierbare Funktion, so ist auch <math>f(x) = k*g(x)</math> (k € R) differenzierbar und es gilt <math>f'(x) = k * g'(x)</math>  
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Ist g eine differenzierbare Funktion, so ist auch <math>f(x) = k\cdot g(x)</math> (k € R) differenzierbar und es gilt <math>f'(x) = k \cdot  g'(x)</math>  
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| <math>f(x) = 4*x^5</math>
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Zur [[Herleitung]].
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Zur [[Herleitung der Ableitungsregeln]].
== Summenregel ==
== Summenregel ==
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! Funktion
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! style="border-bottom: 1px dashed #ff8800;" |  dies gilt für
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! dies gilt für
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| <math>f(x) = x^5 + 3*x^4</math>  
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| <math>f'(x) = 5*x^4 + 12*x^3</math>
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| <math>f(x) = x^2 + x^{\frac 3 2}</math>      
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| colspan="2" | <br /> <math>f(x) = x^2 + x^{\frac 3 2}</math>
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| <math>f'(x) = 2*x + \frac 3 2 * x^{\frac 1 2}</math>
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| für alle x € R>0
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| style="border: 1px dashed #ee3333;" |  <math>f'(x) = 2\cdot x + \frac 3 2 \cdot  x^{\frac 1 2}</math>
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| <math>f(x) = x^{-4} - x^{-2}</math>
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| <math>f'(x) = -4*x^{-5} - (-2*x^{-3})</math>
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| für alle x € R
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| style="border: 1px dashed #ff8800;" |  für alle x € R
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Zur [[Herleitung]].
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Zur [[Herleitung der Ableitungsregeln]].
== Produktregel ==
== Produktregel ==
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Sind zwei Funktionen u(x) und v(x) an der Stelle x differenzierbar, ist auch die Funktion f(x) für die gilt <math>f(x) = u(x) * v(x)</math>, an dieser Stelle differenzieber. Es gilt: <math>f'(x)  = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)</math>
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Sind zwei Funktionen u(x) und v(x) an der Stelle x differenzierbar, ist auch die Funktion f(x) für die gilt <math>f(x) = u(x) \cdot  v(x)</math>, an dieser Stelle differenzieber. Es gilt: <math>f'(x)  = u'(x) \cdot  v(x) + u(x) \cdot  v'(x)</math>
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'''Beispiele'''
'''Beispiele'''
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! Funktion
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! style="border-bottom: 1px dashed #ee3333;" |  Ableitung
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! Ableitung
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! style="border-bottom: 1px dashed #ff8800;" |  Anmerkung
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! Anmerkung
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| <math>f(x) = x^5 * x^3</math>          
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| colspan="2" | <br /> <math>f(x) = x^5 \cdot  x^3</math>    
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| <math>f'(x) = 5*x^4*x^3 + x^5 * 3 * x^2</math>
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| Dies dient nur zur Verdeutlichung der Regel. Man würde hier <math>f(x) = x^8</math> ableiten.
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|  style="border: 1px dashed #ee3333;" | <math>f'(x) = 5\cdot x^4\cdot x^3 + x^5 \cdot  3 \cdot  x^2</math>
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| style="border: 1px dashed #ff8800;" |  Dies dient nur zur Verdeutlichung der Regel. Man würde hier <math>f(x) = x^8</math> ableiten.
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| <math>f(x) = x * sin(x)</math>        
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| colspan="2" | <br /> <math>f(x) = x \cdot  sin(x)</math>
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| <math>f'(x) = 1 * sin(x) + x * cos(x)</math>
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| Die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Siehe [[hier]].
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|  style="border: 1px dashed #ee3333;" | <math>f'(x) = 1 \cdot  sin(x) + x \cdot  cos(x)</math>
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|  style="border: 1px dashed #ff8800;" | Die Ableitung von '''sin(x)''' ist '''cos(x)'''. Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
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| <math>f(x) = x^{-2} * e^x</math>
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| colspan="2" | <br /> <math>f(x) = x^{-2} \cdot  e^x</math>
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| <math>f'(x) = -2*x^{-3} * e^x + x^{-2} *e^x</math>
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| Die Ableitung von <math>e^x</math> ist <math>e^x</math>. Siehe [[hier]].
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| style="border: 1px dashed #ee3333;" |  <math>f'(x) = -2\cdot x^{-3} \cdot  e^x + x^{-2} \cdot e^x</math>
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| style="border: 1px dashed #ff8800;" |  Die Ableitung von '''e<sup>x</sup>''' ist '''e<sup>x</sup>'''. Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
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Zur [[Herleitung]].
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Zur [[Herleitung der Ableitungsregeln]].
== Kettenregel ==
== Kettenregel ==
Die Kettenregel wird benötigt um verkettete Funktionen abzuleiten. Ein Beispiel hierfür ist <math>f(x) = \sqrt{x^2-1}</math>. Auch nützlich kann die Kettenregel sein, wenn sich eine Ableitung sonst nur durch erheblichen aufwand ermitteln liese, wie zum Beispiel bei <math>f(x) = (x^2+x)^{50}</math>
Die Kettenregel wird benötigt um verkettete Funktionen abzuleiten. Ein Beispiel hierfür ist <math>f(x) = \sqrt{x^2-1}</math>. Auch nützlich kann die Kettenregel sein, wenn sich eine Ableitung sonst nur durch erheblichen aufwand ermitteln liese, wie zum Beispiel bei <math>f(x) = (x^2+x)^{50}</math>
Ist die Funktion v(x) an der Stelle x und u(v(x)) an der Stelle x differenzierbar gilt für f(x) = u(v(x)):
Ist die Funktion v(x) an der Stelle x und u(v(x)) an der Stelle x differenzierbar gilt für f(x) = u(v(x)):
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<math>f'(x) = v'(x) * u'(v(x))</math>
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<math>f'(x) = v'(x) \cdot  u'(v(x))</math>
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'''Beispiele'''
'''Beispiele'''
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! Funktion
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! style="border-bottom: 1px dashed #009900;" |  äußere Funktion u(v)
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! äußere Funktion u(z)
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! style="border-bottom: 1px dashed #3333ee;" |  innere Funktion v(x)
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! innere Funktion v(x)
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! style="border-bottom: 1px dashed #33ee33;" | u'(v)
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! u'(z)
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! style="border-bottom: 1px dashed #7777ff;" | v'(x)
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! v'(x)
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! style="border-bottom: 1px dashed #ee3333;" |  komplette Ableitung
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! komplette Ableitung
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! style="border-bottom: 1px dashed #ff8800;" |  Anmerkung
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! Anmerkung
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| <math>f(x) = \sqrt{x^2-1}</math>
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| colspan="6" |  <br /><math>f(x) = \sqrt{x^2-1}</math>
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| <math>u(z) = \sqrt{z}</math>             
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| <math>v(x) = x^2-1</math>
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| style="border: 1px dashed #009900;" | <math>u(v) = \sqrt{v}</math>             
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| <math>u'(z) = \frac 1 {\sqrt{z}}</math>
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| style="border: 1px dashed #3333ee;" |  <math>v(x) = x^2-1</math>
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| <math>v'(x) = 2x</math>
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| style="border: 1px dashed #33ee33;" |  <math>u'(v) = \frac 1 {\sqrt{v}}</math>
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| <math>f'(x) = 2x*\frac 1 {\sqrt{x^2-1}}</math>
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| style="border: 1px dashed #7777ff;" | <math>v'(x) = 2x</math>
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| style="border: 1px dashed #ee3333;" |  <math>f'(x) = 2x\cdot \frac 1 {\sqrt{x^2-1}}</math>
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| <math>f(x) = (x^2 + x)^{50}</math>
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| colspan="6" |  <br /><math>f(x) = (x^2 + x)^{50}</math>
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| <math>u(z) = z^{50}</math>             
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| <math>v(x) = x^2 + x</math>
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| style="border: 1px dashed #009900;" | <math>u(v) = v^{50}</math>             
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| <math>u'(z) = 50 * z^{49}</math>
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| style="border: 1px dashed #3333ee;" |  <math>v(x) = x^2 + x</math>
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| <math>v'(x) = 2*x + 1</math>
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| style="border: 1px dashed #33ee33;" |  <math>u'(v) = 50 \cdot  v^{49}</math>
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| <math>f'(x) = (2x+1) * 50 * (x^2+x)^{49}</math>
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| style="border: 1px dashed #7777ff;" | <math>v'(x) = 2\cdot x + 1</math>
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| style="border: 1px dashed #ee3333;" | <math>f'(x) = (2x+1) \cdot  50 \cdot  (x^2+x)^{49}</math>
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| <math>f(x) = sin(2x+1)</math>
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| colspan="6" | <br /> <math>f(x) = sin(2x+1)</math>
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| <math>u(z) = sin(z)</math>      
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| <math>v(x) = 2x + 1</math>
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| <math>u'(z) = cos(z)</math>
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| <math>v'(x) = 2</math>
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| <math>f'(x) = 2 * cos(2x+1)</math>
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| Die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Siehe [[hier]].
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| <math>f(x) = e^{x^2 + 2x}</math>
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| style="border: 1px dashed #009900;" | <math>u(v) = sin(v)</math>     
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| <math>u(z) = e^z</math>
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| style="border: 1px dashed #3333ee;" | <math>v(x) = 2x + 1</math>
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| <math>v(x) = x^2 + 2x</math>
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| style="border: 1px dashed #33ee33;" | <math>u'(v) = cos(v)</math>
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| <math>u'(z) = e^z</math>
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| style="border: 1px dashed #7777ff;" |<math>v'(x) = 2</math>
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| <math>v'(x) = 2x + 2</math>
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| style="border: 1px dashed #ee3333;" | <math>f'(x) = 2 \cdot  cos(2x+1)</math>
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| <math>f'(x) = (2x + 2)*e^{x^2 + 2x}</math>
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| style="border: 1px dashed #ff8800;" |  Die Ableitung von '''sin(x)''' ist '''cos(x)'''. Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
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| Die Ableitung von <math>e^x</math> ist <math>e^x</math>. Siehe [[hier]].
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| colspan="6" | <br /><math>f(x) = e^{x^2 + 2x}</math>
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| style="border: 1px dashed #009900;" | <math>u(v) = e^v</math>
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| style="border: 1px dashed #3333ee;" |  <math>v(x) = x^2 + 2x</math>
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| style="border: 1px dashed #33ee33;" | <math>u'(v) = e^v</math>
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| style="border: 1px dashed #7777ff;" |<math>v'(x) = 2x + 2</math>
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| style="border: 1px dashed #ee3333;" | <math>f'(x) = (2x + 2)\cdot e^{x^2 + 2x}</math>
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| style="border: 1px dashed #ff8800;" | Die Ableitung von '''e<sup>x</sup>''' ist '''e<sup>x</sup>'''. Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
|}
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Zur [[Herleitung]].
+
Zur [[Herleitung der Ableitungsregeln]].
== Quotientenregel ==
== Quotientenregel ==
Die Quotientenregel vereinfacht, das Ableiten von Brüchen, welche sich jedoch auch durch die Produktregel ableiten lassen.
Die Quotientenregel vereinfacht, das Ableiten von Brüchen, welche sich jedoch auch durch die Produktregel ableiten lassen.
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Ist die Funktion f(x) gegeben durch <math>f(x) = \frac {u(x)} {v(x)}</math> so gilt: <math>f'(x) = \frac {u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x)} {v^2(x)}</math>
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Ist die Funktion f(x) gegeben durch <math>f(x) = \frac {u(x)} {v(x)}</math> so gilt: <math>f'(x) = \frac {u'(x)\cdot v(x) - u(x)\cdot v'(x)} {v^2(x)}</math>
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'''Beispiele'''
'''Beispiele'''
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{| class="wikitable" border="1"
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|-
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! Funktion
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! style="border-bottom: 1px dashed #009900;" | u(x)
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! u(x)
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! style="border-bottom: 1px dashed #3333ee;" |  v(x)
-
! v(x)
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! style="border-bottom: 1px dashed #33ee33;" | u'(x)
-
! u'(x)
+
! style="border-bottom: 1px dashed #7777ff;" | v'(x)
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! v'(x)
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! style="border-bottom: 1px dashed #ee3333;" | gesamte Ableitung
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! gesamte Ableitung
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| <math>f(x) = \frac {x^2+3}{x^3-x^2}</math>
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| colspan="5" | <br /><math>f(x) = \frac {x^2+3}{x^3-x^2}</math>
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| <math>u(x) = x^2+3</math>
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| <math>v(x) = x^3-x^2</math>
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|  style="border: 1px dashed #009900;" | <math>u(x) = x^2+3</math>
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| <math>u'(x) = 2x</math>
+
|  style="border: 1px dashed #3333ee;" | <math>v(x) = x^3-x^2</math>
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| <math>v'(x) = 3x^2-2x</math>
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| style="border: 1px dashed #33ee33;" | <math>u'(x) = 2x</math>
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| <math>f'(x) = \frac {2x*(x^3-x^2) - (x^2+3)*(3x^2-2x)}{(x^3-x^2)^2}</math>
+
| style="border: 1px dashed #7777ff;" | <math>v'(x) = 3x^2-2x</math>
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| style="border: 1px dashed #ee3333;" |  <math>f'(x) = \frac {2x\cdot (x^3-x^2) - (x^2+3)\cdot (3x^2-2x)}{(x^3-x^2)^2}</math>
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Zur [[Herleitung der Ableitungsregeln]].<br /><br />
Wendet man diese Regel an und beabsichtigt mehrere Ableitungen anzufertigen, sollte man darauf achten, dass man spätestens bei der 2. Ableitung kürzen kann.
Wendet man diese Regel an und beabsichtigt mehrere Ableitungen anzufertigen, sollte man darauf achten, dass man spätestens bei der 2. Ableitung kürzen kann.

Aktuelle Version vom 20:09, 10. Apr. 2009

Es gibt eine Reihe von Regeln um Funktionen abzuleiten. Diese werden hier mit Bespielen erklärt, jedoch nicht bewiesen. Eine Herleitung der Ableitungsregeln wird für das Abitur wahrscheinlich nicht notwendig sein, wird jedoch bald hinzugefügt. Bei allen hier verwendeten Funktionen ist darauf zu achten, dass diese für die Stelle x differenzierbar sein müssen.

Inhaltsverzeichnis

Potenzregel

Ist die Funktion LaTeX: f(x) = x^n an der Stelle x differenzierbar gilt für diese LaTeX: f'(x) = n\cdot x^{n-1}

Beispiele

Ableitung dies gilt für

LaTeX: f(x) = x^5
LaTeX: f'(x) = 5\cdot x^4 für alle x € R

LaTeX: f(x) = x^{\frac 3 2}
LaTeX: f'(x) = \frac 3 2 \cdot x^{\frac 1 2} für alle x € R>0

LaTeX: f(x) = x^{-2}
LaTeX: f'(x) = -2\cdot x^{-3} für alle x € R

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.


Faktorregel

Ist g eine differenzierbare Funktion, so ist auch LaTeX: f(x) = k\cdot g(x) (k € R) differenzierbar und es gilt LaTeX: f'(x) = k \cdot g'(x)

Beispiele

Ableitung dies gilt für

LaTeX: f(x) = 4\cdot x^5
LaTeX: f'(x) = 5\cdot 4\cdot x^4 = 20\cdot x^4 für alle x € R

LaTeX: f(x) = -3\cdot x^{\frac 3 2}
LaTeX: f'(x) = -\frac 9 2 \cdot x^{\frac 1 2} für alle x € R>0

LaTeX: f(x) = -3\cdot x^{-2}
LaTeX: f'(x) = 6\cdot x^{-3} für alle x € R

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.

Summenregel

Sind zwei Funktionen g(x) und h(x) an der Stelle x differenzierbar, so ist an dieser Stelle auch die Summenfunktion f(x) mit LaTeX: f(x) = g(x) + h(x) differenzierbar. Es gilt: LaTeX: f'(x) = g'(x) + h'(x)

Beispiele

Ableitung dies gilt für

LaTeX: f(x) = x^5 + 3\cdot x^4
LaTeX: f'(x) = 5\cdot x^4 + 12\cdot x^3 für alle x € R

LaTeX: f(x) = x^2 + x^{\frac 3 2}
LaTeX: f'(x) = 2\cdot x + \frac 3 2 \cdot x^{\frac 1 2} für alle x € R>0

LaTeX: f(x) = x^{-4} - x^{-2}
LaTeX: f'(x) = -4\cdot x^{-5} - (-2\cdot x^{-3}) für alle x € R

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.

Produktregel

Sind zwei Funktionen u(x) und v(x) an der Stelle x differenzierbar, ist auch die Funktion f(x) für die gilt LaTeX: f(x) = u(x) \cdot v(x), an dieser Stelle differenzieber. Es gilt: LaTeX: f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)

Beispiele

Ableitung Anmerkung

LaTeX: f(x) = x^5 \cdot x^3
LaTeX: f'(x) = 5\cdot x^4\cdot x^3 + x^5 \cdot 3 \cdot x^2 Dies dient nur zur Verdeutlichung der Regel. Man würde hier LaTeX: f(x) = x^8 ableiten.

LaTeX: f(x) = x \cdot sin(x)
LaTeX: f'(x) = 1 \cdot sin(x) + x \cdot cos(x) Die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Siehe Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen.

LaTeX: f(x) = x^{-2} \cdot e^x
LaTeX: f'(x) = -2\cdot x^{-3} \cdot e^x + x^{-2} \cdot e^x Die Ableitung von ex ist ex. Siehe Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen.

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.

Kettenregel

Die Kettenregel wird benötigt um verkettete Funktionen abzuleiten. Ein Beispiel hierfür ist LaTeX: f(x) = \sqrt{x^2-1}. Auch nützlich kann die Kettenregel sein, wenn sich eine Ableitung sonst nur durch erheblichen aufwand ermitteln liese, wie zum Beispiel bei LaTeX: f(x) = (x^2+x)^{50} Ist die Funktion v(x) an der Stelle x und u(v(x)) an der Stelle x differenzierbar gilt für f(x) = u(v(x)): LaTeX: f'(x) = v'(x) \cdot u'(v(x))

Beispiele

äußere Funktion u(v) innere Funktion v(x) u'(v) v'(x) komplette Ableitung Anmerkung

LaTeX: f(x) = \sqrt{x^2-1}
LaTeX: u(v) = \sqrt{v} LaTeX: v(x) = x^2-1 LaTeX: u'(v) = \frac 1 {\sqrt{v}} LaTeX: v'(x) = 2x LaTeX: f'(x) = 2x\cdot \frac 1 {\sqrt{x^2-1}}

LaTeX: f(x) = (x^2 + x)^{50}
LaTeX: u(v) = v^{50} LaTeX: v(x) = x^2 + x LaTeX: u'(v) = 50 \cdot v^{49} LaTeX: v'(x) = 2\cdot x + 1 LaTeX: f'(x) = (2x+1) \cdot 50 \cdot (x^2+x)^{49}

LaTeX: f(x) = sin(2x+1)
LaTeX: u(v) = sin(v) LaTeX: v(x) = 2x + 1 LaTeX: u'(v) = cos(v) LaTeX: v'(x) = 2 LaTeX: f'(x) = 2 \cdot cos(2x+1) Die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Siehe Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen.

LaTeX: f(x) = e^{x^2 + 2x}
LaTeX: u(v) = e^v LaTeX: v(x) = x^2 + 2x LaTeX: u'(v) = e^v LaTeX: v'(x) = 2x + 2 LaTeX: f'(x) = (2x + 2)\cdot e^{x^2 + 2x} Die Ableitung von ex ist ex. Siehe Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen.

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.

Quotientenregel

Die Quotientenregel vereinfacht, das Ableiten von Brüchen, welche sich jedoch auch durch die Produktregel ableiten lassen. Ist die Funktion f(x) gegeben durch LaTeX: f(x) = \frac {u(x)} {v(x)} so gilt: LaTeX: f'(x) = \frac {u'(x)\cdot v(x) - u(x)\cdot v'(x)} {v^2(x)}

Beispiele

u(x) v(x) u'(x) v'(x) gesamte Ableitung

LaTeX: f(x) = \frac {x^2+3}{x^3-x^2}
LaTeX: u(x) = x^2+3 LaTeX: v(x) = x^3-x^2 LaTeX: u'(x) = 2x LaTeX: v'(x) = 3x^2-2x LaTeX: f'(x) = \frac {2x\cdot (x^3-x^2) - (x^2+3)\cdot (3x^2-2x)}{(x^3-x^2)^2}

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.

Wendet man diese Regel an und beabsichtigt mehrere Ableitungen anzufertigen, sollte man darauf achten, dass man spätestens bei der 2. Ableitung kürzen kann.

Von „http://truth-quark.de/quark/Ableitungsregeln“