Vorkurs:Reihen – Truth-Quark

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(Unterschied zwischen Versionen)

Aktuelle Version vom 19:41, 11. Apr. 2010

$LaTeX: \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 +a_3 + a_4 + a_5 + \ldots$

N-te Partialsumme der Reihe:
$LaTeX: S_N =a_1 +a_2 + a_3 + \ldots + a_N \equiv \sum_{n=1}^N a_n$
$LaTeX: S= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N a_n = \sum_{n=1}^\infty a_n$
Potenzreihen
$LaTeX: \sum_{n=1}^\infty \alpha_n x^{n-1}$
Geometrische Reihe:
$LaTeX: \sum_{n=1}^\infty x^{n-1} = 1 + x + x^2 + \ldots \equiv \sum_{n=0}^\infty x^{n}$
$LaTeX: \sum_{n=0}^{N-1} x^{n} = \frac{1-x^N}{1-x}$
Exponentialreihe:
$LaTeX: e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}2 + \frac{x^3}6 + \ldots$
Binomische Reihe:
$LaTeX: \sum_{n=0}^\infty \begin{pmatrix} \alpha \\ n \end{pmatrix} x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha-1)}2 x^2 + \ldots$ konvergiert für |x| < 1 zu $LaTeX: (1+x)^\alpha$
Trigonometrische Funktionen:
$LaTeX: \sin(x)= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots$
$LaTeX: \cos(x)= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots$

Konvergenzkriterien

Majorantenkriterium

Wenn $LaTeX: \sum_{n=1}^\infty b_n = B$ konvergiert und $LaTeX: |a_n| \le b_n$ dann konvergiert $LaTeX: \sum_{n=1}^\infty a_n$ .

Quotientenkriterium

Wenn sich ein δ finden lässt, für das gilt $LaTeX: \frac{a_n +1}{a_n} \le \delta < 1$ , dann konvergiert die Reihe $LaTeX: \sum_{n=1}^\infty a_n$ .

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 Trigonometrische Funktionen:<br />
 <math>\sin(x)= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots</math><br />
+<math>\cos(x)= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots</math><br />
 ===Konvergenzkriterien===