Integrationsregeln

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Zur [[Herleitung der Integrationsregeln]].
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|  style="border: 1px dashed #ff8800;" | Die Ableitung von sin(x) ist cos(x), die ableitung von cos(x) ist -sin(x). Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
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|  style="border: 1px dashed #ff8800;" | Die Ableitung von '''sin(x)''' ist '''cos(x)''', die Ableitung von '''cos(x)''' ist '''-sin(x)'''. Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
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| style="border: 1px dashed #ff8800;" |  Die Ableitung von '''e<sup>x</sup>''' ist '''e<sup>x</sup>'''. Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
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Zur [[Herleitung der Integrationsregeln]].
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== Substitutionsregel ==
== Substitutionsregel ==
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Die Substitutionsregel ist die Umkehrung der Kettenregel der Differentialrechnung.
Die Substitutionsregel lautet für ein unbestimmtes Integral:<br />
Die Substitutionsregel lautet für ein unbestimmtes Integral:<br />
<math>\int u(v(t)) \cdot v'(t)\,dt = \int u(x)\,dx</math><br />
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| style="border: 1px dashed #3333ee;" |  <math>h(x) = x^2-1</math>
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| style="border: 1px dashed #7777ff;" | <math>h'(x) = 2x = \frac{dh}{dx}</math><br /> <math>dx = \frac{dh}{2 \sqrt{h+1}}</math>
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| style="border: 1px dashed #3333ee;" | <math>h(x) = 2x + 1</math>
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| style="border: 1px dashed #ff8800;" |  Die Ableitung von '''sin(x)''' ist '''cos(x)'''. Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen|hier]].
| style="border: 1px dashed #ff8800;" |  Die Ableitung von '''sin(x)''' ist '''cos(x)'''. Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen|hier]].
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| style="border: 1px dashed #009900;" | <math>g(h) = e^h</math>
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| style="border: 1px dashed #7777ff;" |<math>h'(x) = 2x + 2 = \frac {dh}{dx}</math><br /><math>dx=\frac {dh}{2x + 2}</math>
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| style="border: 1px dashed #000000;" | <math>\frac {1}{2} e^h=</math><br /> <math> \frac {1}{2}e^(x^2 + 2x)</math>
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| style="border: 1px dashed #ff8800;" | Die Ableitung von '''e<sup>x</sup>''' ist '''e<sup>x</sup>'''. Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen|hier]].
| style="border: 1px dashed #ff8800;" | Die Ableitung von '''e<sup>x</sup>''' ist '''e<sup>x</sup>'''. Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen|hier]].
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Zur [[Herleitung der Integrationsregeln]].

Aktuelle Version vom 20:03, 10. Apr. 2009

Es gibt eine Reihe von Regeln um Stammfunktionen einer Funktion zu finden. Diese werden hier mit Bespielen erklärt, jedoch nicht bewiesen. Eine Herleitung der Integrationsregeln wird für das Abitur wahrscheinlich nicht notwendig sein, wird jedoch bald hinzugefügt. Die Regeln zur Integration sind meist daraus hergeleitet, dass eine beliebige Funktion die Ableitung ihrer Stammfunktion ist.

Inhaltsverzeichnis

Potenzregel

Ist die Funktion LaTeX: f(x) = x^n, gilt für das unbestimmte Integral dieser Funktion LaTeX: F(x)= \int\nolimits f(x)\,dx = \frac 1 {n+1} \cdot x^{n+1}

Beispiele

Stammfunktion

LaTeX: f(x) = x^5
LaTeX: F(x) = \frac 1 6\cdot x^6

LaTeX: f(x) = x^{\frac 3 2}
LaTeX: F(x) = \frac 2 5 \cdot x^{\frac 5 2}

LaTeX: f(x) = x^{-2}
LaTeX: F(x) = - x^{-1}

Zur Herleitung der Integrationsregeln.


Faktorregel

Ist LaTeX: g(x)=k \cdot f(x), so gilt LaTeX: \int\nolimits g(x) \,dx = \int\nolimits k \cdot f(x) \,dx = k \cdot \int\nolimits f(x) \,dx

Beispiele

Stammfunktion

LaTeX: f(x) = 4\cdot x^5
LaTeX: F(x) = 4\cdot \frac 1 6\cdot x^6

LaTeX: f(x) = -3\cdot x^{\frac 3 2}
LaTeX: F(x) = -3 \cdot \frac 2 5 \cdot x^{\frac 5 2} = - \frac 6 5 \cdot x^{\frac 5 2}

LaTeX: f(x) = -3\cdot x^{-2}
LaTeX: F(x) = 3\cdot x^{-1}

Zur Herleitung der Integrationsregeln.

Summenregel

Sind zwei Funktionen g und h mit der Summenfunktion f gegeben mit LaTeX: f = g + h, so gilt: LaTeX: \int\nolimits f = \int\nolimits ( g + h ) = \int\nolimits g + \int\nolimits h

Beispiele

Stammfunktion

LaTeX: f(x) = x^5 + 3\cdot x^4
LaTeX: F(x) = \frac 16 x^6 + \frac 3 5 x^5

LaTeX: f(x) = x^2 + x^{\frac 3 2}
LaTeX: F(x) = \frac 1 3 x^3 + \frac 2 5 \cdot x^{\frac 5 2}

LaTeX: f(x) = x^{-4} - x^{-2}
LaTeX: F(x) = - \frac 1 3 x^{-3} + x^{-1})

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Partielle Integration

Die Regel zur partiellen Integration leitet sich aus der Produktregel zur Ableitung her. Ist eine Funktion gegeben mit LaTeX: f = u' \cdot v so gilt: LaTeX: \int f= \int u' \cdot v = u \cdot v - \int u \cdot v'
Mit dieser Regel lässt sich ein Integral zwar nicht in einem Schritt lösen, aber oft auf eine handlichere Form bringen.

Beispiele

Stammfunktion Anmerkung

LaTeX: f(x) = x \cdot sin(x)
LaTeX: F(x) = x \cdot -cos(x) - \int - cos(x) \,dx = - x \cdot cos(x) + sin(x) Die Ableitung von sin(x) ist cos(x), die Ableitung von cos(x) ist -sin(x). Siehe Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen.

LaTeX: f(x) = x^{2} \cdot e^x
LaTeX: F(x) = x^{2} \cdot e^x - \int 2 x \cdot e^x \,dx = x^{2} \cdot e^x - 2 x \cdot e^x + 2 e^x Die Ableitung von ex ist ex. Siehe Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen.

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Substitutionsregel

Die Substitutionsregel ist die Umkehrung der Kettenregel der Differentialrechnung. Die Substitutionsregel lautet für ein unbestimmtes Integral:
LaTeX: \int u(v(t)) \cdot v'(t)\,dt = \int u(x)\,dx
Und für ein bestimmtes Integral:
LaTeX: \int\limits_{a}^{b} u(v(t)) \cdot v'(t)\,dt = \int\limits_{v(a)}^{v(b)} u(x)\,dx
Anwendung:
Bei einem beliebigen Integral LaTeX: \int f(x)\,dx setzt man einen günstigen Teil der Funktion gleich h(x). Dann gilt nach dem Differenzenquotienten:
LaTeX: h'(x) = \frac {dh}{dx} ,also:
LaTeX: dx=\frac {dh}{h'(x)}
Man setzt nun in das ursprüngliche Integral so ein, dass eine Funktion in Abhängigkeit von h herauskommt, die einfach integriert werden kann.

Beispiele

äußere Funktion g(h) innere Funktion h(x) h'(x) substituiertes Integral gelöstes Integral Anmerkung

LaTeX: \int f(x)\,dx =\int x \cdot \sqrt{x^2-1}\,dx
LaTeX: g(h) = \sqrt{h} LaTeX: h(x) = x^2-1 LaTeX: h'(x) = 2x = \frac{dh}{dx}
LaTeX: dx = \frac{dh}{2 \sqrt{h+1}} 		LaTeX: \int \frac{\sqrt{h}}{2}\,dh LaTeX: \frac13 h^{\frac32}= \frac13 \sqrt{x^2-1}^{3}

LaTeX: \int f(x)\,dx = \int sin(2x+1)\,dx
LaTeX: g(h) = sin(h) LaTeX: h(x) = 2x + 1 LaTeX: h'(x) = 2 = \frac{dh}{dx}
LaTeX: dx=\frac{dh}{2} 		LaTeX: \int \frac12 sin(h)\,dh LaTeX: - \frac12 cos(2x + 1) Die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Siehe hier.

LaTeX: \int f(x)\,dx=\int x \cdot e^{x^2 + 2x} + e^{x^2 + 2x} \,dx
LaTeX: g(h) = e^h LaTeX: h(x) = x^2 + 2x LaTeX: h'(x) = 2x + 2 = \frac {dh}{dx}
LaTeX: dx=\frac {dh}{2x + 2} 		LaTeX: \int \frac { x \cdot e^h + e^h}{2x+2} \,dh
LaTeX: =\int \frac {1}{2} e^h\,dh 		LaTeX: \frac {1}{2} e^h=
LaTeX: \frac {1}{2}e^{x^2 + 2x} 		Die Ableitung von ex ist ex. Siehe hier.

Zur Herleitung der Integrationsregeln.

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