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Das newtonsche Näherungsverfahren ist ein Verfahren, mit dem man Näherungen der Nullstellen einer Funktion berechnet. Dafür linearisiert man die Funktion an einer Stelle, die möglichst nah an einer Nullstelle liegen sollte, das heißt man bildet in dieser Stelle die Tangente der Funktion und berechnet die Nullstelle der Tangenten. An dieser Stelle bestimmt man wiederum die Tangente der Funktion und bestimmt die Nullstelle. Diesen Vorgang wiederholt man so lange, bis sich die Nullstelle der Tangenten kaum noch verändert. | Das newtonsche Näherungsverfahren ist ein Verfahren, mit dem man Näherungen der Nullstellen einer Funktion berechnet. Dafür linearisiert man die Funktion an einer Stelle, die möglichst nah an einer Nullstelle liegen sollte, das heißt man bildet in dieser Stelle die Tangente der Funktion und berechnet die Nullstelle der Tangenten. An dieser Stelle bestimmt man wiederum die Tangente der Funktion und bestimmt die Nullstelle. Diesen Vorgang wiederholt man so lange, bis sich die Nullstelle der Tangenten kaum noch verändert. | ||
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<math>x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}</math><br /> | <math>x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}</math><br /> | ||
| - | An diesem Applet kann man sich das | + | |
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| + | An diesem Applet kann man sich das newtonsche Näherungsverfahren an einer Funktion der Form <math>f(x)=a \cdot x^4+b \cdot x^3+c \cdot x^2+d \cdot x+e</math> verdeutlichen.<br /> | ||
<center><ggb_applet height='500' width='800' filename='Newtonsches_Näherungsverfahren3.ggb' /></center> | <center><ggb_applet height='500' width='800' filename='Newtonsches_Näherungsverfahren3.ggb' /></center> | ||
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| + | ==Lösen von Gleichungen mit dem newtonschen Näherungsverfahren== | ||
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| + | Zum Lösen einer Gleichung muss man diese einfach so umformen, dass Null auf einer Seite steht und dann die andere Seite als die Funktion auffassen, deren Nullstellen man sucht. | ||
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| + | ==Probleme des Verfahrens== | ||
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| + | Man sollte immer versuchen, schon mit dem Startwert relativ nah an der gesuchten Nullstelle zu sein. In einigen Fällen kann es bei dem Verfahren nämlich zum Oszillieren zwischen unterschiedlich vielen Werten kommen. | ||
| + | <center><ggb_applet height='500' width='800' filename='Newtonsches_Näherungsverfahren_Problem.ggb' /></center> | ||
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| + | [[Kategorie:Analysis]] | ||
Aktuelle Version vom 10:45, 4. Apr. 2009
Das newtonsche Näherungsverfahren ist ein Verfahren, mit dem man Näherungen der Nullstellen einer Funktion berechnet. Dafür linearisiert man die Funktion an einer Stelle, die möglichst nah an einer Nullstelle liegen sollte, das heißt man bildet in dieser Stelle die Tangente der Funktion und berechnet die Nullstelle der Tangenten. An dieser Stelle bestimmt man wiederum die Tangente der Funktion und bestimmt die Nullstelle. Diesen Vorgang wiederholt man so lange, bis sich die Nullstelle der Tangenten kaum noch verändert.
Inhaltsverzeichnis |
Herleitung der Gleichung
| Die allgemeine Geradengleichung | |||
| Dies muss für die Tangente an der Stelle | |||
| woraus sich dies für s_y ergiebt. (I.) | |||
| Die Nullstelle der Tangenten ergibt sich aus dieser Gleichung. (II.) | |||
| Durch Einsetzen von I. in II. | |||
Wenn die Steigung der Tangenten ist, gilt also für die Nullstelle der Tangenten:
Beispiel
An diesem Applet kann man sich das newtonsche Näherungsverfahren an einer Funktion der Form verdeutlichen.
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Lösen von Gleichungen mit dem newtonschen Näherungsverfahren
Zum Lösen einer Gleichung muss man diese einfach so umformen, dass Null auf einer Seite steht und dann die andere Seite als die Funktion auffassen, deren Nullstellen man sucht.
Probleme des Verfahrens
Man sollte immer versuchen, schon mit dem Startwert relativ nah an der gesuchten Nullstelle zu sein. In einigen Fällen kann es bei dem Verfahren nämlich zum Oszillieren zwischen unterschiedlich vielen Werten kommen.
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