Ebenengleichung

Aus Truth-Quark

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Die Seite wurde neu angelegt: „==Vektorielle Form== ===Parameterform=== Eine Ebene im <math>\mathbb R^3</math> kann durch folgende Gleichung beschrieben werden, wobei <math>\vec x_0</math> ein...“)
(→Normalenform)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 2 dazwischenliegende Versionen mit ein.)
Zeile 8: Zeile 8:
===Normalenform===
===Normalenform===
Da das [[Skalarprodukt]] von zwei senkrechten Vektoren gleich Null ist, ist eine Ebene im <math>\mathbb R^3</math> durch folgende Gleichung beschrieben:
Da das [[Skalarprodukt]] von zwei senkrechten Vektoren gleich Null ist, ist eine Ebene im <math>\mathbb R^3</math> durch folgende Gleichung beschrieben:
-
<center><math>E: (\vec x_0 - \vec x) \cdot n = 0</math></center><br />
+
<center><math>E: (\vec x_0 - \vec x) \cdot \vec n = 0</math></center><br />
<math>\vec x_0</math> ist dabei ein beliebiger Ortsvektor innerhalb der Ebene. Die beschriebene Ebene ist die Ebene, die senkrecht zu <math>\vec n</math> ist (Normalenvektor), da wenn der Vektor <math>\vec x_0 - \vec x</math> senkrecht zu <math>\vec n</math> ist, das Skalarprodukt Null ist.
<math>\vec x_0</math> ist dabei ein beliebiger Ortsvektor innerhalb der Ebene. Die beschriebene Ebene ist die Ebene, die senkrecht zu <math>\vec n</math> ist (Normalenvektor), da wenn der Vektor <math>\vec x_0 - \vec x</math> senkrecht zu <math>\vec n</math> ist, das Skalarprodukt Null ist.
====Hesse'sche Normalenform====
====Hesse'sche Normalenform====
Die Hesse'sche Normalenform einer Ebene ist:
Die Hesse'sche Normalenform einer Ebene ist:
-
<center><math>E: (\vec x_0 - \vec x) \cdot n_0 = 0</math></center><br />
+
<center><math>E: (\vec x_0 - \vec x) \cdot \vec n_0 = 0</math></center><br />
-
Dabei ist <math>\vec n_0</math> der Normaleneinheitsvektor, d.h. <math> \left| \vec n_0 \right| = 1</math> bzw. <math>\vec n_0 = \frac{1}{\left| \vec n \right|} \cdot \vec n</math>  
+
Dabei ist <math>\vec n_0</math> der Normaleneinheitsvektor, d.h. <math> \left| \vec n_0 \right| = 1</math> bzw. <math>\vec n_0 = \frac{1}{\left| \vec n \right|} \cdot \vec n</math>
==Koordinatenform==
==Koordinatenform==
Zeile 22: Zeile 22:
<math>
<math>
   \vec{n} = \begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}
   \vec{n} = \begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}
-
</math>
+
</math><br />
-
d ist dabei das Skalarprodukt von<math> \vec n</math> mit einem beliebigen Ortsvektor der Ebene. Außerdem kann man durch Nullsetzen der entsprechenden Koordinaten schnell die Spurgeraden und Achsenschnittpunkte bestimmen. (Z.B. für die Spurgerade in der x/y-Ebene z=0 setzen, für den Schnittpunkt der x-Achse y und z=0 setzen.)
+
d ist demnach das Skalarprodukt von <math>\vec n</math> mit einem beliebigen Ortsvektor der Ebene. Außerdem kann man durch Nullsetzen der entsprechenden Koordinaten schnell die Spurgeraden und Achsenschnittpunkte bestimmen. (Z.B. für die Spurgerade in der x/y-Ebene z=0 setzen, für den Schnittpunkt der x-Achse y und z=0 setzen.)
 +
 
 +
[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Aktuelle Version vom 13:37, 30. Mär. 2009

Inhaltsverzeichnis

Vektorielle Form

Parameterform

Eine Ebene im LaTeX: \mathbb R^3 kann durch folgende Gleichung beschrieben werden, wobei LaTeX: \vec x_0 ein beliebiger Ortsvektor eines Punktes innerhalb der Ebene ist (der sogenannte Stützvektor) und LaTeX: \vec u und LaTeX: \vec v linear unabhängige Vektoren sind, die parallel zur Ebene verlaufen:

LaTeX: E: \vec x = \vec x_0 + \lambda \cdot \vec u + \mu \cdot \vec v

Anschaulich "springt" man mit dem Vektor LaTeX: \vec x_0 auf die Ebene und kann mit den beiden Vektoren LaTeX: \vec u und LaTeX: \vec v jeden Vektor parallel zur Ebene linear kombinieren. So lässt sich jeder Ortsvektor der Ebene mit bestimmten Parametern λ und μ kombinieren.

Normalenform

Da das Skalarprodukt von zwei senkrechten Vektoren gleich Null ist, ist eine Ebene im LaTeX: \mathbb R^3 durch folgende Gleichung beschrieben:

LaTeX: E: (\vec x_0 - \vec x) \cdot \vec n = 0

LaTeX: \vec x_0 ist dabei ein beliebiger Ortsvektor innerhalb der Ebene. Die beschriebene Ebene ist die Ebene, die senkrecht zu LaTeX: \vec n ist (Normalenvektor), da wenn der Vektor LaTeX: \vec x_0 - \vec x senkrecht zu LaTeX: \vec n ist, das Skalarprodukt Null ist.

Hesse'sche Normalenform

Die Hesse'sche Normalenform einer Ebene ist:

LaTeX: E: (\vec x_0 - \vec x) \cdot \vec n_0 = 0

Dabei ist LaTeX: \vec n_0 der Normaleneinheitsvektor, d.h. LaTeX: \left| \vec n_0 \right| = 1 bzw. LaTeX: \vec n_0 = \frac{1}{\left| \vec n \right|} \cdot \vec n

Koordinatenform

Eine Ebene kann ebenfalls in der Form

LaTeX: E: a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z = d

ausgedrückt werden. Diese Fom kann man als ausmultiplizierte Form der Normalenform verstehen. Damit folgt aus der Koordinatenform direkt: LaTeX: </p> <pre> \vec{n} = \begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix} </pre> <p>
d ist demnach das Skalarprodukt von LaTeX: \vec n mit einem beliebigen Ortsvektor der Ebene. Außerdem kann man durch Nullsetzen der entsprechenden Koordinaten schnell die Spurgeraden und Achsenschnittpunkte bestimmen. (Z.B. für die Spurgerade in der x/y-Ebene z=0 setzen, für den Schnittpunkt der x-Achse y und z=0 setzen.)

Von „http://truth-quark.de/quark/Ebenengleichung“