Ableitungsregeln

Aus Truth-Quark

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! dies gilt für
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| <math>f(x) = x^5</math>          
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| colspan="2" | <math>f(x) = x^5</math>    
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| <math>f'(x) = 5\cdot x^4</math>
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|  style="border: 1px dashed #ee3333;" | <math>f'(x) = 5\cdot x^4</math>
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| <math>f(x) = -3\cdot x^{-2}</math>
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| colspan="2" |  <math>f(x) = -3\cdot x^{-2}</math>
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| für alle x € R
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! Funktion
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! style="border-bottom: 1px dashed #ff8800;" |  dies gilt für
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! dies gilt für
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| <math>f(x) = x^5 + 3\cdot x^4</math>  
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| colspan="2" |  <math>f(x) = x^5 + 3\cdot x^4</math>  
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| <math>f'(x) = 5\cdot x^4 + 12\cdot x^3</math>
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| für alle x € R
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| style="border: 1px dashed #ff8800;" |  für alle x € R
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| <math>f(x) = x^2 + x^{\frac 3 2}</math>      
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| colspan="2" |  <math>f(x) = x^2 + x^{\frac 3 2}</math>
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| <math>f'(x) = 2\cdot x + \frac 3 2 \cdot  x^{\frac 1 2}</math>
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| für alle x € R>0
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| style="border: 1px dashed #ee3333;" |  <math>f'(x) = 2\cdot x + \frac 3 2 \cdot  x^{\frac 1 2}</math>
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| <math>f(x) = x^{-4} - x^{-2}</math>
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|  colspan="2" | <math>f(x) = x^{-4} - x^{-2}</math>
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| <math>f'(x) = -4\cdot x^{-5} - (-2\cdot x^{-3})</math>
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| für alle x € R
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| style="border: 1px dashed #ff8800;" |  für alle x € R
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! Funktion
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! style="border-bottom: 1px dashed #ee3333;" |  Ableitung
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! Ableitung
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! style="border-bottom: 1px dashed #ff8800;" |  Anmerkung
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! Anmerkung
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| <math>f(x) = x^5 \cdot  x^3</math>          
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| colspan="2" |  <math>f(x) = x^5 \cdot  x^3</math>    
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| <math>f'(x) = 5\cdot x^4\cdot x^3 + x^5 \cdot  3 \cdot  x^2</math>
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| Dies dient nur zur Verdeutlichung der Regel. Man würde hier <math>f(x) = x^8</math> ableiten.
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|  style="border: 1px dashed #ee3333;" | <math>f'(x) = 5\cdot x^4\cdot x^3 + x^5 \cdot  3 \cdot  x^2</math>
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| style="border: 1px dashed #ff8800;" |  Dies dient nur zur Verdeutlichung der Regel. Man würde hier <math>f(x) = x^8</math> ableiten.
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| <math>f(x) = x \cdot  sin(x)</math>        
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| colspan="2" |  <math>f(x) = x \cdot  sin(x)</math>
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| <math>f'(x) = 1 \cdot  sin(x) + x \cdot  cos(x)</math>
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| Die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
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|  style="border: 1px dashed #ee3333;" | <math>f'(x) = 1 \cdot  sin(x) + x \cdot  cos(x)</math>
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|  style="border: 1px dashed #ff8800;" | Die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
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| <math>f(x) = x^{-2} \cdot  e^x</math>
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| colspan="2" |  <math>f(x) = x^{-2} \cdot  e^x</math>
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| <math>f'(x) = -2\cdot x^{-3} \cdot  e^x + x^{-2} \cdot e^x</math>
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| Die Ableitung von <math>e^x</math> ist <math>e^x</math>. Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
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| style="border: 1px dashed #ee3333;" |  <math>f'(x) = -2\cdot x^{-3} \cdot  e^x + x^{-2} \cdot e^x</math>
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| style="border: 1px dashed #ff8800;" |  Die Ableitung von <math>e^x</math> ist <math>e^x</math>. Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
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Zur [[Herleitung der Ableitungsregeln]].
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! Funktion
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! style="border-bottom: 1px dashed #009900;" |  äußere Funktion u(z)
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! äußere Funktion u(z)
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! style="border-bottom: 1px dashed #3333ee;" |  innere Funktion v(x)
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! innere Funktion v(x)
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! style="border-bottom: 1px dashed #33ee33;" | u'(z)
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! u'(z)
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! style="border-bottom: 1px dashed #7777ff;" | v'(x)
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! v'(x)
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! style="border-bottom: 1px dashed #ee3333;" |  komplette Ableitung
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! komplette Ableitung
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! style="border-bottom: 1px dashed #ff8800;" |  Anmerkung
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! Anmerkung
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| <math>f(x) = \sqrt{x^2-1}</math>
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| colspan="6" |  <math>f(x) = \sqrt{x^2-1}</math>
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| <math>u(z) = \sqrt{z}</math>             
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| <math>v(x) = x^2-1</math>
+
| style="border: 1px dashed #009900;" | <math>u(z) = \sqrt{z}</math>             
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| <math>u'(z) = \frac 1 {\sqrt{z}}</math>
+
| style="border: 1px dashed #3333ee;" |  <math>v(x) = x^2-1</math>
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| <math>v'(x) = 2x</math>
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| style="border: 1px dashed #33ee33;" |  <math>u'(z) = \frac 1 {\sqrt{z}}</math>
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| <math>f'(x) = 2x\cdot \frac 1 {\sqrt{x^2-1}}</math>
+
| style="border: 1px dashed #7777ff;" | <math>v'(x) = 2x</math>
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| style="border: 1px dashed #ee3333;" |  <math>f'(x) = 2x\cdot \frac 1 {\sqrt{x^2-1}}</math>
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| <math>f(x) = (x^2 + x)^{50}</math>
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| colspan="6" |  <math>f(x) = (x^2 + x)^{50}</math>
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| <math>u(z) = z^{50}</math>             
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| <math>v(x) = x^2 + x</math>
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| <math>u'(z) = 50 \cdot  z^{49}</math>
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| <math>v'(x) = 2\cdot x + 1</math>
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| <math>f'(x) = (2x+1) \cdot  50 \cdot  (x^2+x)^{49}</math>
+
| style="border: 1px dashed #7777ff;" | <math>v'(x) = 2\cdot x + 1</math>
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| style="border: 1px dashed #ee3333;" | <math>f'(x) = (2x+1) \cdot  50 \cdot  (x^2+x)^{49}</math>
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| <math>f(x) = sin(2x+1)</math>
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| colspan="6" |  <math>f(x) = sin(2x+1)</math>
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| <math>u(z) = sin(z)</math>       
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| <math>v(x) = 2x + 1</math>
+
| style="border: 1px dashed #009900;" | <math>u(z) = sin(z)</math>       
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| <math>u'(z) = cos(z)</math>
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| style="border: 1px dashed #3333ee;" | <math>v(x) = 2x + 1</math>
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| <math>v'(x) = 2</math>
+
| style="border: 1px dashed #33ee33;" | <math>u'(z) = cos(z)</math>
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| <math>f'(x) = 2 \cdot  cos(2x+1)</math>
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| style="border: 1px dashed #7777ff;" |<math>v'(x) = 2</math>
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| Die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
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| style="border: 1px dashed #ee3333;" | <math>f'(x) = 2 \cdot  cos(2x+1)</math>
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| style="border: 1px dashed #ff8800;" |  Die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
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| colspan="6" | <math>f(x) = e^{x^2 + 2x}</math>
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| <math>f(x) = e^{x^2 + 2x}</math>
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| style="border: 1px dashed #009900;" | <math>u(z) = e^z</math>
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| <math>u(z) = e^z</math>
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| <math>v(x) = x^2 + 2x</math>
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| <math>u'(z) = e^z</math>
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| style="border: 1px dashed #7777ff;" |<math>v'(x) = 2x + 2</math>
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| <math>v'(x) = 2x + 2</math>
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| style="border: 1px dashed #ee3333;" | <math>f'(x) = (2x + 2)\cdot e^{x^2 + 2x}</math>
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| <math>f'(x) = (2x + 2)\cdot e^{x^2 + 2x}</math>
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| style="border: 1px dashed #ff8800;" | Die Ableitung von <math>e^x</math> ist <math>e^x</math>. Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
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| Die Ableitung von <math>e^x</math> ist <math>e^x</math>. Siehe [[Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen]].
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Zur [[Herleitung der Ableitungsregeln]].
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{| class="wikitable" border="1"
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!  style="border-bottom: 1px dashed #009900;" | u(x)
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! style="border-bottom: 1px dashed #3333ee;" |  v(x)
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! style="border-bottom: 1px dashed #33ee33;" | u'(x)
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! style="border-bottom: 1px dashed #7777ff;" | v'(x)
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!  style="border-bottom: 1px dashed #ee3333;" | gesamte Ableitung
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! Funktion
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| colspan="5" | <math>f(x) = \frac {x^2+3}{x^3-x^2}</math>
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! u(x)
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! v(x)
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! u'(x)
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! v'(x)
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! gesamte Ableitung
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| <math>f(x) = \frac {x^2+3}{x^3-x^2}</math>
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| style="border: 1px dashed #009900;" | <math>u(x) = x^2+3</math>
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| <math>u(x) = x^2+3</math>
+
|  style="border: 1px dashed #3333ee;" | <math>v(x) = x^3-x^2</math>
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| <math>v(x) = x^3-x^2</math>
+
| style="border: 1px dashed #33ee33;" | <math>u'(x) = 2x</math>
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| <math>u'(x) = 2x</math>
+
| style="border: 1px dashed #7777ff;" | <math>v'(x) = 3x^2-2x</math>
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| <math>v'(x) = 3x^2-2x</math>
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| style="border: 1px dashed #ee3333;" |  <math>f'(x) = \frac {2x\cdot (x^3-x^2) - (x^2+3)\cdot (3x^2-2x)}{(x^3-x^2)^2}</math>
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| <math>f'(x) = \frac {2x\cdot (x^3-x^2) - (x^2+3)\cdot (3x^2-2x)}{(x^3-x^2)^2}</math>
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Zur [[Herleitung der Ableitungsregeln]].<br /><br />
Zur [[Herleitung der Ableitungsregeln]].<br /><br />
Wendet man diese Regel an und beabsichtigt mehrere Ableitungen anzufertigen, sollte man darauf achten, dass man spätestens bei der 2. Ableitung kürzen kann.
Wendet man diese Regel an und beabsichtigt mehrere Ableitungen anzufertigen, sollte man darauf achten, dass man spätestens bei der 2. Ableitung kürzen kann.

Version vom 20:18, 29. Mär. 2009

Es gibt eine Reihe von Regeln um Funktionen abzuleiten. Diese werden hier mit Bespielen erklärt, jedoch nicht bewiesen. Eine Herleitung der Ableitungsregeln wird für das Abitur wahrscheinlich nicht notwendig sein, wird jedoch bald hinzugefügt. Bei allen hier verwendeten Funktionen ist darauf zu achten, dass diese für die Stelle x differenzierbar sein müssen.

Inhaltsverzeichnis

Potenzregel

Ist die Funktion LaTeX: f(x) = x^n an der Stelle x differenzierbar gilt für diese LaTeX: f'(x) = n\cdot x^{n-1}

Beispiele

Ableitung dies gilt für
LaTeX: f(x) = x^5
LaTeX: f'(x) = 5\cdot x^4 für alle x € R
LaTeX: f(x) = x^{\frac 3 2}
LaTeX: f'(x) = \frac 3 2 \cdot x^{\frac 1 2} für alle x € R>0
LaTeX: f(x) = x^{-2}
LaTeX: f'(x) = -2\cdot x^{-3} für alle x € R

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.


Faktorregel

Ist g eine differenzierbare Funktion, so ist auch LaTeX: f(x) = k\cdot g(x) (k € R) differenzierbar und es gilt LaTeX: f'(x) = k \cdot g'(x)

Beispiele

Ableitung dies gilt für
LaTeX: f(x) = 4\cdot x^5
LaTeX: f'(x) = 5\cdot 4\cdot x^4 = 20\cdot x^4 für alle x € R
LaTeX: f(x) = -3\cdot x^{\frac 3 2}
LaTeX: f'(x) = -\frac 9 2 \cdot x^{\frac 1 2} für alle x € R>0
LaTeX: f(x) = -3\cdot x^{-2}
LaTeX: f'(x) = 6\cdot x^{-3} für alle x € R

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.

Summenregel

Sind zwei Funktionen g(x) und h(x) an der Stelle x differenzierbar, so ist an dieser Stelle auch die Summenfunktion f(x) mit LaTeX: f(x) = g(x) + h(x) differenzierbar. Es gilt: LaTeX: f'(x) = g'(x) + h'(x)

Beispiele

Ableitung dies gilt für
LaTeX: f(x) = x^5 + 3\cdot x^4
LaTeX: f'(x) = 5\cdot x^4 + 12\cdot x^3 für alle x € R
LaTeX: f(x) = x^2 + x^{\frac 3 2}
LaTeX: f'(x) = 2\cdot x + \frac 3 2 \cdot x^{\frac 1 2} für alle x € R>0
LaTeX: f(x) = x^{-4} - x^{-2}
LaTeX: f'(x) = -4\cdot x^{-5} - (-2\cdot x^{-3}) für alle x € R

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.

Produktregel

Sind zwei Funktionen u(x) und v(x) an der Stelle x differenzierbar, ist auch die Funktion f(x) für die gilt LaTeX: f(x) = u(x) \cdot v(x), an dieser Stelle differenzieber. Es gilt: LaTeX: f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)

Beispiele

Ableitung Anmerkung
LaTeX: f(x) = x^5 \cdot x^3
LaTeX: f'(x) = 5\cdot x^4\cdot x^3 + x^5 \cdot 3 \cdot x^2 Dies dient nur zur Verdeutlichung der Regel. Man würde hier LaTeX: f(x) = x^8 ableiten.
LaTeX: f(x) = x \cdot sin(x)
LaTeX: f'(x) = 1 \cdot sin(x) + x \cdot cos(x) Die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Siehe Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen.
LaTeX: f(x) = x^{-2} \cdot e^x
LaTeX: f'(x) = -2\cdot x^{-3} \cdot e^x + x^{-2} \cdot e^x Die Ableitung von LaTeX: e^x ist LaTeX: e^x. Siehe Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen.

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.

Kettenregel

Die Kettenregel wird benötigt um verkettete Funktionen abzuleiten. Ein Beispiel hierfür ist LaTeX: f(x) = \sqrt{x^2-1}. Auch nützlich kann die Kettenregel sein, wenn sich eine Ableitung sonst nur durch erheblichen aufwand ermitteln liese, wie zum Beispiel bei LaTeX: f(x) = (x^2+x)^{50} Ist die Funktion v(x) an der Stelle x und u(v(x)) an der Stelle x differenzierbar gilt für f(x) = u(v(x)): LaTeX: f'(x) = v'(x) \cdot u'(v(x))

Beispiele

äußere Funktion u(z) innere Funktion v(x) u'(z) v'(x) komplette Ableitung Anmerkung
LaTeX: f(x) = \sqrt{x^2-1}
LaTeX: u(z) = \sqrt{z} LaTeX: v(x) = x^2-1 LaTeX: u'(z) = \frac 1 {\sqrt{z}} LaTeX: v'(x) = 2x LaTeX: f'(x) = 2x\cdot \frac 1 {\sqrt{x^2-1}}
LaTeX: f(x) = (x^2 + x)^{50}
LaTeX: u(z) = z^{50} LaTeX: v(x) = x^2 + x LaTeX: u'(z) = 50 \cdot z^{49} LaTeX: v'(x) = 2\cdot x + 1 LaTeX: f'(x) = (2x+1) \cdot 50 \cdot (x^2+x)^{49}
LaTeX: f(x) = sin(2x+1)
LaTeX: u(z) = sin(z) LaTeX: v(x) = 2x + 1 LaTeX: u'(z) = cos(z) LaTeX: v'(x) = 2 LaTeX: f'(x) = 2 \cdot cos(2x+1) Die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Siehe Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen.
LaTeX: f(x) = e^{x^2 + 2x}
LaTeX: u(z) = e^z LaTeX: v(x) = x^2 + 2x LaTeX: u'(z) = e^z LaTeX: v'(x) = 2x + 2 LaTeX: f'(x) = (2x + 2)\cdot e^{x^2 + 2x} Die Ableitung von LaTeX: e^x ist LaTeX: e^x. Siehe Ableitung/Stammfunktion spezieller Funktionen.

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.

Quotientenregel

Die Quotientenregel vereinfacht, das Ableiten von Brüchen, welche sich jedoch auch durch die Produktregel ableiten lassen. Ist die Funktion f(x) gegeben durch LaTeX: f(x) = \frac {u(x)} {v(x)} so gilt: LaTeX: f'(x) = \frac {u'(x)\cdot v(x) - u(x)\cdot v'(x)} {v^2(x)}

Beispiele

u(x) v(x) u'(x) v'(x) gesamte Ableitung
LaTeX: f(x) = \frac {x^2+3}{x^3-x^2}
LaTeX: u(x) = x^2+3 LaTeX: v(x) = x^3-x^2 LaTeX: u'(x) = 2x LaTeX: v'(x) = 3x^2-2x LaTeX: f'(x) = \frac {2x\cdot (x^3-x^2) - (x^2+3)\cdot (3x^2-2x)}{(x^3-x^2)^2}

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.

Wendet man diese Regel an und beabsichtigt mehrere Ableitungen anzufertigen, sollte man darauf achten, dass man spätestens bei der 2. Ableitung kürzen kann.

Von „http://truth-quark.de/quark/Ableitungsregeln“