Ableitungsregeln – Truth-Quark

Aus Truth-Quark

(Unterschied zwischen Versionen)

Version vom 18:52, 29. Mär. 2009

Es gibt eine Reihe von Regeln um Funktionen abzuleiten. Diese werden hier mit Bespielen erklärt, jedoch nicht bewiesen. Eine Herleitung der Ableitungsregeln wird für das Abitur wahrscheinlich nicht notwendig sein, wird jedoch bald hinzugefügt. Bei allen hier verwendeten Funktionen ist darauf zu achten, dass diese für die Stelle x differenzierbar sein müssen.

Potenzregel

Ist die Funktion $LaTeX: f(x) = x^n$ an der Stelle x differenzierbar gilt für diese $LaTeX: f'(x) = n\cdot x^{n-1}$

Beispiele

Funktion	Ableitung	dies gilt für
$LaTeX: f(x) = x^5$	$LaTeX: f'(x) = 5\cdot x^4$	für alle x € R
$LaTeX: f(x) = x^{\frac 3 2}$	$LaTeX: f'(x) = \frac 3 2 \cdot x^{\frac 1 2}$	für alle x € R>0
$LaTeX: f(x) = x^{-2}$	$LaTeX: f'(x) = -2\cdot x^{-3}$	für alle x € R

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.

Faktorregel

Ist g eine differenzierbare Funktion, so ist auch $LaTeX: f(x) = k\cdot g(x)$ (k € R) differenzierbar und es gilt $LaTeX: f'(x) = k \cdot g'(x)$

Beispiele

Funktion	Ableitung	dies gilt für
$LaTeX: f(x) = 4\cdot x^5$	$LaTeX: f'(x) = 5\cdot 4\cdot x^4 = 20\cdot x^4$	für alle x € R
$LaTeX: f(x) = -3\cdot x^{\frac 3 2}$	$LaTeX: f'(x) = -\frac 9 2 \cdot x^{\frac 1 2}$	für alle x € R>0
$LaTeX: f(x) = -3\cdot x^{-2}$	$LaTeX: f'(x) = 6\cdot x^{-3}$	für alle x € R

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.

Summenregel

Sind zwei Funktionen g(x) und h(x) an der Stelle x differenzierbar, so ist an dieser Stelle auch die Summenfunktion f(x) mit $LaTeX: f(x) = g(x) + h(x)$ differenzierbar. Es gilt: $LaTeX: f'(x) = g'(x) + h'(x)$

Beispiele

Funktion	Ableitung	dies gilt für
$LaTeX: f(x) = x^5 + 3\cdot x^4$	$LaTeX: f'(x) = 5\cdot x^4 + 12\cdot x^3$	für alle x € R
$LaTeX: f(x) = x^2 + x^{\frac 3 2}$	$LaTeX: f'(x) = 2\cdot x + \frac 3 2 \cdot x^{\frac 1 2}$	für alle x € R>0
$LaTeX: f(x) = x^{-4} - x^{-2}$	$LaTeX: f'(x) = -4\cdot x^{-5} - (-2\cdot x^{-3})$	für alle x € R

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.

Produktregel

Sind zwei Funktionen u(x) und v(x) an der Stelle x differenzierbar, ist auch die Funktion f(x) für die gilt $LaTeX: f(x) = u(x) \cdot v(x)$ , an dieser Stelle differenzieber. Es gilt: $LaTeX: f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

Beispiele

Funktion	Ableitung	Anmerkung
$LaTeX: f(x) = x^5 \cdot x^3$	$LaTeX: f'(x) = 5\cdot x^4\cdot x^3 + x^5 \cdot 3 \cdot x^2$	Dies dient nur zur Verdeutlichung der Regel. Man würde hier $LaTeX: f(x) = x^8$ ableiten.
$LaTeX: f(x) = x \cdot sin(x)$	$LaTeX: f'(x) = 1 \cdot sin(x) + x \cdot cos(x)$	Die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Siehe hier.
$LaTeX: f(x) = x^{-2} \cdot e^x$	$LaTeX: f'(x) = -2\cdot x^{-3} \cdot e^x + x^{-2} \cdot e^x$	Die Ableitung von $LaTeX: e^x$ ist $LaTeX: e^x$ . Siehe hier.

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.

Kettenregel

Die Kettenregel wird benötigt um verkettete Funktionen abzuleiten. Ein Beispiel hierfür ist $LaTeX: f(x) = \sqrt{x^2-1}$ . Auch nützlich kann die Kettenregel sein, wenn sich eine Ableitung sonst nur durch erheblichen aufwand ermitteln liese, wie zum Beispiel bei $LaTeX: f(x) = (x^2+x)^{50}$ Ist die Funktion v(x) an der Stelle x und u(v(x)) an der Stelle x differenzierbar gilt für f(x) = u(v(x)): $LaTeX: f'(x) = v'(x) \cdot u'(v(x))$

Beispiele

Funktion	äußere Funktion u(z)	innere Funktion v(x)	u'(z)	v'(x)	komplette Ableitung	Anmerkung
$LaTeX: f(x) = \sqrt{x^2-1}$	$LaTeX: u(z) = \sqrt{z}$	$LaTeX: v(x) = x^2-1$	$LaTeX: u'(z) = \frac 1 {\sqrt{z}}$	$LaTeX: v'(x) = 2x$	$LaTeX: f'(x) = 2x\cdot \frac 1 {\sqrt{x^2-1}}$
$LaTeX: f(x) = (x^2 + x)^{50}$	$LaTeX: u(z) = z^{50}$	$LaTeX: v(x) = x^2 + x$	$LaTeX: u'(z) = 50 \cdot z^{49}$	$LaTeX: v'(x) = 2\cdot x + 1$	$LaTeX: f'(x) = (2x+1) \cdot 50 \cdot (x^2+x)^{49}$
$LaTeX: f(x) = sin(2x+1)$	$LaTeX: u(z) = sin(z)$	$LaTeX: v(x) = 2x + 1$	$LaTeX: u'(z) = cos(z)$	$LaTeX: v'(x) = 2$	$LaTeX: f'(x) = 2 \cdot cos(2x+1)$	Die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Siehe hier.
$LaTeX: f(x) = e^{x^2 + 2x}$	$LaTeX: u(z) = e^z$	$LaTeX: v(x) = x^2 + 2x$	$LaTeX: u'(z) = e^z$	$LaTeX: v'(x) = 2x + 2$	$LaTeX: f'(x) = (2x + 2)\cdot e^{x^2 + 2x}$	Die Ableitung von $LaTeX: e^x$ ist $LaTeX: e^x$ . Siehe hier.

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.

Quotientenregel

Die Quotientenregel vereinfacht, das Ableiten von Brüchen, welche sich jedoch auch durch die Produktregel ableiten lassen. Ist die Funktion f(x) gegeben durch $LaTeX: f(x) = \frac {u(x)} {v(x)}$ so gilt: $LaTeX: f'(x) = \frac {u'(x)\cdot v(x) - u(x)\cdot v'(x)} {v^2(x)}$

Beispiele

Funktion	u(x)	v(x)	u'(x)	v'(x)	gesamte Ableitung
$LaTeX: f(x) = \frac {x^2+3}{x^3-x^2}$	$LaTeX: u(x) = x^2+3$	$LaTeX: v(x) = x^3-x^2$	$LaTeX: u'(x) = 2x$	$LaTeX: v'(x) = 3x^2-2x$	$LaTeX: f'(x) = \frac {2x\cdot (x^3-x^2) - (x^2+3)\cdot (3x^2-2x)}{(x^3-x^2)^2}$

Zur Herleitung der Ableitungsregeln.

Wendet man diese Regel an und beabsichtigt mehrere Ableitungen anzufertigen, sollte man darauf achten, dass man spätestens bei der 2. Ableitung kürzen kann.

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 == Potenzregel ==
-Ist die Funktion <math>f(x) = x^n</math> an der Stelle x differenzierbar gilt für diese <math>f'(x) = n\cdotx^{n-1}</math>
+Ist die Funktion <math>f(x) = x^n</math> an der Stelle x differenzierbar gilt für diese <math>f'(x) = n\cdot x^{n-1}</math>
 <br /><br />
 '''Beispiele'''
@@ Zeile 15: / Zeile 15: @@
 |-
 | <math>f(x) = x^5</math>
-| <math>f'(x) = 5\cdotx^4</math>
+| <math>f'(x) = 5\cdot x^4</math>
 | für alle x € R
 |-
 | <math>f(x) = x^{\frac 3 2}</math>
-| <math>f'(x) = \frac 3 2 \cdot x^{\frac 1 2}</math>
+| <math>f'(x) = \frac 3 2 \cdot  x^{\frac 1 2}</math>
 | für alle x € R>0
 |-
 | <math>f(x) = x^{-2}</math>
-| <math>f'(x) = -2\cdotx^{-3}</math>
+| <math>f'(x) = -2\cdot x^{-3}</math>
 | für alle x € R
 |}
@@ Zeile 30: / Zeile 30: @@
 == Faktorregel ==
-Ist g eine differenzierbare Funktion, so ist auch <math>f(x) = k\cdotg(x)</math> (k € R) differenzierbar und es gilt <math>f'(x) = k \cdot g'(x)</math>
+Ist g eine differenzierbare Funktion, so ist auch <math>f(x) = k\cdot g(x)</math> (k € R) differenzierbar und es gilt <math>f'(x) = k \cdot  g'(x)</math>
 <br /><br />
 '''Beispiele'''
@@ Zeile 40: / Zeile 40: @@
 ! dies gilt für
 |-
-| <math>f(x) = 4\cdotx^5</math>
+| <math>f(x) = 4\cdot x^5</math>
-| <math>f'(x) = 5\cdot4\cdotx^4 = 20\cdotx^4</math>
+| <math>f'(x) = 5\cdot 4\cdot x^4 = 20\cdot x^4</math>
 | für alle x € R
 |-
-| <math>f(x) = -3\cdotx^{\frac 3 2}</math>
+| <math>f(x) = -3\cdot x^{\frac 3 2}</math>
-| <math>f'(x) = -\frac 9 2 \cdot x^{\frac 1 2}</math>
+| <math>f'(x) = -\frac 9 2 \cdot  x^{\frac 1 2}</math>
 | für alle x € R>0
 |-
-| <math>f(x) = -3\cdotx^{-2}</math>
+| <math>f(x) = -3\cdot x^{-2}</math>
-| <math>f'(x) = 6\cdotx^{-3}</math>
+| <math>f'(x) = 6\cdot x^{-3}</math>
 | für alle x € R
 |}
@@ Zeile 64: / Zeile 64: @@
 ! dies gilt für
 |-
-| <math>f(x) = x^5 + 3\cdotx^4</math>
+| <math>f(x) = x^5 + 3\cdot x^4</math>
-| <math>f'(x) = 5\cdotx^4 + 12\cdotx^3</math>
+| <math>f'(x) = 5\cdot x^4 + 12\cdot x^3</math>
 | für alle x € R
 |-
 | <math>f(x) = x^2 + x^{\frac 3 2}</math>
-| <math>f'(x) = 2\cdotx + \frac 3 2 \cdot x^{\frac 1 2}</math>
+| <math>f'(x) = 2\cdot x + \frac 3 2 \cdot  x^{\frac 1 2}</math>
 | für alle x € R>0
 |-
 | <math>f(x) = x^{-4} - x^{-2}</math>
-| <math>f'(x) = -4\cdotx^{-5} - (-2\cdotx^{-3})</math>
+| <math>f'(x) = -4\cdot x^{-5} - (-2\cdot x^{-3})</math>
 | für alle x € R
 |}
@@ Zeile 79: / Zeile 79: @@
 == Produktregel ==
-Sind zwei Funktionen u(x) und v(x) an der Stelle x differenzierbar, ist auch die Funktion f(x) für die gilt <math>f(x) = u(x) \cdot v(x)</math>, an dieser Stelle differenzieber. Es gilt: <math>f'(x)  = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)</math>
+Sind zwei Funktionen u(x) und v(x) an der Stelle x differenzierbar, ist auch die Funktion f(x) für die gilt <math>f(x) = u(x) \cdot  v(x)</math>, an dieser Stelle differenzieber. Es gilt: <math>f'(x)  = u'(x) \cdot  v(x) + u(x) \cdot  v'(x)</math>
 <br /><br />
 '''Beispiele'''
@@ Zeile 89: / Zeile 89: @@
 ! Anmerkung
 |-
-| <math>f(x) = x^5 \cdot x^3</math>
+| <math>f(x) = x^5 \cdot  x^3</math>
-| <math>f'(x) = 5\cdotx^4\cdotx^3 + x^5 \cdot 3 \cdot x^2</math>
+| <math>f'(x) = 5\cdot x^4\cdot x^3 + x^5 \cdot  3 \cdot  x^2</math>
 | Dies dient nur zur Verdeutlichung der Regel. Man würde hier <math>f(x) = x^8</math> ableiten.
 |-
-| <math>f(x) = x \cdot sin(x)</math>
+| <math>f(x) = x \cdot  sin(x)</math>
-| <math>f'(x) = 1 \cdot sin(x) + x \cdot cos(x)</math>
+| <math>f'(x) = 1 \cdot  sin(x) + x \cdot  cos(x)</math>
 | Die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Siehe [[hier]].
 |-
-| <math>f(x) = x^{-2} \cdot e^x</math>
+| <math>f(x) = x^{-2} \cdot  e^x</math>
-| <math>f'(x) = -2\cdotx^{-3} \cdot e^x + x^{-2} \cdote^x</math>
+| <math>f'(x) = -2\cdot x^{-3} \cdot  e^x + x^{-2} \cdot e^x</math>
 | Die Ableitung von <math>e^x</math> ist <math>e^x</math>. Siehe [[hier]].
 |}
@@ Zeile 106: / Zeile 106: @@
 Die Kettenregel wird benötigt um verkettete Funktionen abzuleiten. Ein Beispiel hierfür ist <math>f(x) = \sqrt{x^2-1}</math>. Auch nützlich kann die Kettenregel sein, wenn sich eine Ableitung sonst nur durch erheblichen aufwand ermitteln liese, wie zum Beispiel bei <math>f(x) = (x^2+x)^{50}</math>
 Ist die Funktion v(x) an der Stelle x und u(v(x)) an der Stelle x differenzierbar gilt für f(x) = u(v(x)):
-<math>f'(x) = v'(x) \cdot u'(v(x))</math>
+<math>f'(x) = v'(x) \cdot  u'(v(x))</math>
 <br /><br />
 '''Beispiele'''
@@ Zeile 125: / Zeile 125: @@
 | <math>u'(z) = \frac 1 {\sqrt{z}}</math>
 | <math>v'(x) = 2x</math>
-| <math>f'(x) = 2x\cdot\frac 1 {\sqrt{x^2-1}}</math>
+| <math>f'(x) = 2x\cdot \frac 1 {\sqrt{x^2-1}}</math>
 |
 |-
@@ Zeile 131: / Zeile 131: @@
 | <math>u(z) = z^{50}</math>
 | <math>v(x) = x^2 + x</math>
-| <math>u'(z) = 50 \cdot z^{49}</math>
+| <math>u'(z) = 50 \cdot  z^{49}</math>
-| <math>v'(x) = 2\cdotx + 1</math>
+| <math>v'(x) = 2\cdot x + 1</math>
-| <math>f'(x) = (2x+1) \cdot 50 \cdot (x^2+x)^{49}</math>
+| <math>f'(x) = (2x+1) \cdot  50 \cdot  (x^2+x)^{49}</math>
 |
 |-
@@ Zeile 141: / Zeile 141: @@
 | <math>u'(z) = cos(z)</math>
 | <math>v'(x) = 2</math>
-| <math>f'(x) = 2 \cdot cos(2x+1)</math>
+| <math>f'(x) = 2 \cdot  cos(2x+1)</math>
 | Die Ableitung von sin(x) ist cos(x). Siehe [[hier]].
 |-
@@ Zeile 149: / Zeile 149: @@
 | <math>u'(z) = e^z</math>
 | <math>v'(x) = 2x + 2</math>
-| <math>f'(x) = (2x + 2)\cdote^{x^2 + 2x}</math>
+| <math>f'(x) = (2x + 2)\cdot e^{x^2 + 2x}</math>
 | Die Ableitung von <math>e^x</math> ist <math>e^x</math>. Siehe [[hier]].
 |}
@@ Zeile 156: / Zeile 156: @@
 == Quotientenregel ==
 Die Quotientenregel vereinfacht, das Ableiten von Brüchen, welche sich jedoch auch durch die Produktregel ableiten lassen.
-Ist die Funktion f(x) gegeben durch <math>f(x) = \frac {u(x)} {v(x)}</math> so gilt: <math>f'(x) = \frac {u'(x)\cdotv(x) - u(x)\cdotv'(x)} {v^2(x)}</math>
+Ist die Funktion f(x) gegeben durch <math>f(x) = \frac {u(x)} {v(x)}</math> so gilt: <math>f'(x) = \frac {u'(x)\cdot v(x) - u(x)\cdot v'(x)} {v^2(x)}</math>
 <br /><br />
 '''Beispiele'''
@@ Zeile 173: / Zeile 173: @@
 | <math>u'(x) = 2x</math>
 | <math>v'(x) = 3x^2-2x</math>
-| <math>f'(x) = \frac {2x\cdot(x^3-x^2) - (x^2+3)\cdot(3x^2-2x)}{(x^3-x^2)^2}</math>
+| <math>f'(x) = \frac {2x\cdot (x^3-x^2) - (x^2+3)\cdot (3x^2-2x)}{(x^3-x^2)^2}</math>
 |}
 Zur [[Herleitung der Ableitungsregeln]].<br /><br />
 Wendet man diese Regel an und beabsichtigt mehrere Ableitungen anzufertigen, sollte man darauf achten, dass man spätestens bei der 2. Ableitung kürzen kann.