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===a)===
Zum Erstellen einer Ebenengleichung sind mindestens 3 Punkte notwendig, z.B.:<br />
( 4 | 2 | 0 ), ( 4 | 0 | 2 ),  ( 2 | 0 | 4 )<br />
Erstellen der [[Ebenengleichung#Parameterform|Parameterform]]:<br />
<math>E: \vec x = \begin{pmatrix}  4 \\ 2  \\ 0  \end{pmatrix} 
+ \lambda_0 \cdot \left( \begin{pmatrix}  4 \\ 2  \\ 0  \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}  4 \\ 0  \\ 2  \end{pmatrix} \right)
+ \mu_0 \cdot \left( \begin{pmatrix}  4 \\ 2  \\ 0  \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}  2 \\ 0  \\ 4  \end{pmatrix} \right)</math><br />
<math>\Leftrightarrow
E: \vec x = \begin{pmatrix}  4 \\ 2  \\ 0  \end{pmatrix} 
+ \lambda \cdot \begin{pmatrix}  0 \\ 1  \\ -1  \end{pmatrix} 
+ \mu \cdot  \begin{pmatrix}  1 \\ 1  \\ -2  \end{pmatrix}</math><br />
Erstellen der [[Ebenengleichung#Normalenform|Normalenform]]:<br />
<math>\vec n = \begin{pmatrix}  0 \\ 1  \\ -1  \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}  1 \\ 1  \\ -2  \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}  1 \cdot (-2) - 1 \cdot (-1) \\
 (-1) \cdot 1 - (-2) \cdot 0  \\
 0 \cdot 1 - 1 \cdot 1  
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}  -1 \\ -1  \\ -1  \end{pmatrix}</math><br />
<math>E: \begin{pmatrix}  1 \\ 1  \\ 1  \end{pmatrix} \cdot \vec x = \begin{pmatrix}  1 \\ 1  \\ 1  \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix}  4 \\ 2  \\ 0  \end{pmatrix} = 6</math>
===b)===
Für den Abstand rechnen wir mit der Hesse'schen Normalenform:<br />
<math>d= \left| \frac1{\sqrt3}\begin{pmatrix}  1 \\ 1  \\ 1  \end{pmatrix} \cdot \left( \begin{pmatrix}  4 \\ 2  \\ 0  \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}  0 \\ 0  \\ 0  \end{pmatrix}\right) \right|=\left| \frac1{\sqrt3} \begin{pmatrix}  1 \\ 1  \\ 1  \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix}  4 \\ 2  \\ 0  \end{pmatrix} \right|= \frac6{\sqrt3} = 2\sqrt3 </math><br />
Der Winkel zwischen den Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen ihren Normalen:<br />
<math>cos(\phi)=\frac{\begin{pmatrix}  0 \\ 0  \\ 1  \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}  1 \\ 1  \\ 1  \end{pmatrix}}
{\left|\begin{pmatrix}  0 \\ 0  \\ 1  \end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}  1 \\ 1  \\ 1  \end{pmatrix}\right|}
=\frac{1}{\sqrt3}</math><br />
<math>\Rightarrow \phi \approx 54,73561^\circ</math><br />
===c)===
Erstellen der Normalenform der beiden Ebenen:<br />
Bei der Ebene aus Bild 2 kann man einfach den Punkt ( 0 | 0 | 2 ) und den Normalenvektor <math>\begin{pmatrix}  0 \\ 0  \\ 1  \end{pmatrix}</math> ablesen.<br />
<math>\Rightarrow E: \begin{pmatrix}  0 \\ 0  \\ 1  \end{pmatrix} \cdot \vec x = 2</math> Dies ist eine Ebene der Ebenenschar für r=0.<br />
Bei der Ebene aus Bild 3 kann man drei Punkte ablesen, z.B:<br />
( 0 | 0 | 4 ), ( 4 | 0 | 3 ),  ( 0 | 4 | 3 )<br />
Normelenvektor:<br />
<math>\begin{pmatrix}  0-4 \\ 0  \\ 4-3  \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}  0 \\ 0-4  \\ 4-3  \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}  -4 \\ 0  \\ 1  \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}  0 \\ -4  \\ 1  \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}  4 \\ 4  \\ 16  \end{pmatrix}</math><br />
<math>\Rightarrow n= \begin{pmatrix}  \frac14 \\ \frac14  \\ 1  \end{pmatrix}</math><br />
<math>\Rightarrow E: \begin{pmatrix}  \frac14 \\ \frac14  \\ 1  \end{pmatrix} \cdot \vec x = 4 \ne 4 \cdot \frac14 +2</math><br />
Also gehört die Ebene in Bild 3 nicht zur Ebenenschar E<sub>r</sub>.
===d)===
Wenn das graue Viereck ein Quadrat ist, dann ist das Skalarprodukt der Vektoren <math>\begin{pmatrix}  -4 \\ 0  \\ 1  \end{pmatrix}</math> und <math>\begin{pmatrix}  0 \\ -4  \\ 1  \end{pmatrix}</math> Null, da sie dann rechtwinklig zueinander sind.<br />
<math>\begin{pmatrix}  -4 \\ 0  \\ 1  \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}  0 \\ -4  \\ 1  \end{pmatrix} = 0 + 0 + 1 \ne 0</math><br />
Es handelt sich nicht um ein Quadrat!
===e)===
Die Raumdiagonale d:<br />
<math>d: \vec x = \varepsilon \cdot \begin{pmatrix}  1 \\ 1  \\ 1  \end{pmatrix}</math><br />
Zum bestimmen der Schnittpunkte setzen wir die Raumdiagonale in die Ebenengleichung:<br />
<math>\varepsilon \cdot \begin{pmatrix}  1 \\ 1  \\ 1  \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}  r \\ r  \\ 1  \end{pmatrix} = 4r +2</math><br />
<math>\Leftrightarrow 2\varepsilon r + \varepsilon = 4r + 2</math><br />
<math>\Leftrightarrow \varepsilon = 2 \cdot \frac{2r+1}{2r+1} \quad , r\ne-\frac12 
 \quad \lor \quad \varepsilon - \varepsilon = 2 - 2 \quad , r=-\frac12</math><br />
<math>\Rightarrow \vec x = 2 \cdot \begin{pmatrix}  1 \\ 1  \\ 1  \end{pmatrix}\quad \lor \quad \vec x = \varepsilon \cdot \begin{pmatrix}  1 \\ 1  \\ 1  \end{pmatrix}</math><br />
Die Ebenenschar E<sub>r</sub> hat mit der Raumdiagonalen immer den Punkt ( 2 | 2 | 2) gemeinsam, die Raumdiagonale liegt allerdings gleichzeitig in der Ebene <math>E_{-\frac12}</math> (daher gibt es für <math>r=-\frac12</math> unendlich viele Lösungen)

===f)===
Man kann den Würfel parallel zur x<sub>1</sub> - x<sub>2</sub> - Ebene in zwei Quader der Größe <math> 2 \cdot 4 \cdot 4 = 32</math> halbieren. Die obere Hälfte wird dabei vom grauen Viereck nochmals in zwei gleichgroße Stücke geteilt. Das gesamte Volumen beträgt also 16 + 32 = 48  
{{Aufgabe|Aufgaben Lineare Algebra: Abi 2006 NRW LK Probeaufgabe 2}}
[[Kategorie: Lösungen_Lineare_Algebra]]