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<center><ggb_applet height='500' width='800' filename='LKHT 3 3.ggb' /></center>
<br />
===a)===
Schnittpunkt mit der y-Achse: <br /> <math>x=0 \Rightarrow f_a(0)=a \Rightarrow S_y(0|a)</math><br />
Schnittpunkt mit der x-Achse: <br /> <math>y=0 \Rightarrow 0= (x+a) \cdot e^{-x} \Leftrightarrow x = -a \Rightarrow S_x(-a|0)</math><br /><br />
Verhalten im Unendlichen: <br />  <math>\lim_{x \to \infty} f_a(x) =\lim_{x \to \infty} \frac{x+a}{e^x}</math> <br />Da dies einen Ausdruck der Form <math>\frac{\infty}{\infty}</math> ergibt, folgt nach [[Satz von de l'Hospital|de l'Hospital]]:<br /><math>\lim_{x \to \infty} \frac{x+a}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} = \frac{1}{\infty} = 0</math><br />
<br /><br />
Extrempunkte:<br />Notwendige Bedingung:<br /><math>f'_a(x)=0</math><br /><math>f'_a(x)= e^{-x} - (x+a) \cdot e^{-x} = (-x+1-a)\cdot e^{-x}</math><br /><math>0=(-x+1-a)\cdot e^{-x} \Leftrightarrow  x=1-a \Rightarrow f(1-a)=e^{a-1}</math><br /><math>\Rightarrow H_a \left( \begin{array}{c|c} 
 1-a &  e^{a-1}\end{array}\right)</math><br /> Die Untersuchung der hinreichenden Bedingung ist nicht notwendig, da aus dem Verhalten im Unendlichen und den Achsenschnittpunkten schon ersichtlich ist, dass die Funktion ein Maximum haben muss.

===b)===

Gleichsetzen der beiden Graphen:<br />
<math>f'_a(x)=f_a(x)</math><br />
<math>\Leftrightarrow (-x+1-a)\cdot e^{-x} = (x+a) \cdot e^{-x} \Leftrightarrow  -x+1-a = x+a</math><br /> 
<math>\Leftrightarrow x =\frac12 - a \Rightarrow f_a\left(\frac12 - a\right)=\frac12 e^{a - \frac12}</math><br /><br />
<math>\Rightarrow S_a \left( \begin{array}{c|c} 
 \frac12 - a &  \frac12 e^{a - \frac12}
\end{array}\right)</math>
<br /><br />
Bestimmen der Funktion g:<br />
<math>g\left(\frac12 - a \right)=\frac12 e^{a - \frac12} \land a = \frac12 - x</math><br />
<math>\Rightarrow g(x)=\frac12e^{- x}</math><br /><br />
Bestimmen des Wertes von a, für den f und f' sich rechtwinklig schneiden:<br />
Damit sich die beiden Funktionen rechtwinklig schneiden, muss für ihre Steigungen im Schnittpunkt gelten:<br />
<math>m_f = - \frac1{m_{f'}}</math><br />
<math>f''_a(x)=-e^{-x}-(-x+1-a)\cdot e^{-x}=(x+a-2)\cdot e^{-x}</math><br />
Daher muss gelten:<br />
<math>f''_a\left(\frac12 - a\right)=-\frac{1}{f'_a\left(\frac12 - a\right)}</math><br />
<math>\Leftrightarrow -\frac32 e^{a - \frac12} = - \frac{1}{\frac12 e^{a - \frac12}}</math><br />
<math>\Leftrightarrow -\frac34 e^{2a-1}=-1 \Leftrightarrow e^{2a-1} = \frac43 \Leftrightarrow a=\frac{ln(\frac43)+1}{2}\approx0{,}64384104</math>

===c)===
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist <math>A = \frac 12 \cdot h \cdot g = \frac 12 \cdot  \left(\frac12+u\right)\cdot\left(f_1(u)-f'_1(u)\right)= \frac 12 \cdot  \left(\frac12+u\right)\cdot(2u+1)\cdot e^{-u}</math><br /><math>A(u)=\left(u^2+u+\frac14\right) \cdot e^{-u}</math><br />
<math>A'(u)=(2u+1) \cdot e^{-u} - \left(u^2+u+ \frac14 \right) \cdot e^{-u} = \left(-u^2 + u + \frac34 \right) \cdot e^{-u}</math>
<math>0 = \left(-u^2 + u + \frac34 \right) \cdot e^{-u} \Leftrightarrow 0 = u^2 - u - \frac34 \Leftrightarrow u = \frac12 \pm \sqrt{\frac14 + \frac34}</math><br /><math>u \ge 0 \Rightarrow u=\frac32</math>

===d)===
Für die Eingeschlossene Fläche gilt:
<math>\int\limits_{-\frac12}^u f_1(x)\,dx - \int\limits_{-\frac12}^u f'_1(x)\,dx</math> 
<math>=\int\limits_{-\frac12}^u (x+1) \cdot e^{-x} \,dx - (x+1) \cdot e^{-x}\Big|_{-\frac12}^u</math><br />
:NR: <math>\int (x+1) \cdot e^{-x} \,dx = -(x+1) \cdot e^{-x} - \int - e^{-x} \,dx = -(x+1) \cdot e^{-x} - e^{-x} = (-x-2) \cdot e^{-x}</math><br />
<math>A=(-x-2) \cdot e^{-x} - (x+1) \cdot e^{-x}\Big|_{-\frac12}^u </math>
<math>=(-2x-3)\cdot e^{-x}\Big|_{-\frac12}^u = (-2u-3)\cdot e^{-u} + 2 e^{\frac12}</math><br />
<math>A(u)=(-2u-3)\cdot e^{-u} + 2 e^{\frac12}</math><br /><br />
<math>\lim_{u \to \infty}A(u)=\lim_{u \to \infty}\frac{-2u-3}{e^{u}} + 2 e^{\frac12}</math> <br />Nach de l'Hospital:<br />
<math>\lim_{u \to \infty}  \frac{-2u-3}{e^{u}} + 2 e^{\frac12}=  \frac{-2}{\infty} + 2 \sqrt{e}= 2 \sqrt{e} \approx 3{,}2974425</math>
{{Aufgabe|Aufgaben Analysis: Abi 2008 NRW LK HT 3}}
[[Kategorie: Lösungen Analysis]]