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<center><ggb_applet height='500' width='800' filename='LKHT 8 2.ggb' /></center>
<br /><br />
===a)===
#Da a>0 und <math>x^2 \ge 0</math> ist, wird x<sup>2</sup> + a niemals 0, also gilt für den Definitionsbereich für jedes a:<math>\mathbb D = \mathbb R</math>.
# <math>\frac{4x}{x^2+a} = 0 \Leftrightarrow x=0</math> 
#<math> f'_a(x)= \frac {4 \cdot (x^2 +a) - 4x \cdot 2x}{(x^2+a)^2}</math><br /><math>\Rightarrow 0= \frac {4 \cdot (x^2 +a) - 4x \cdot 2x}{(x^2+a)^2} \Leftrightarrow x^2 = a \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{a}</math>
# <math>\lim_{x \to \pm\infty}f_a(x) = \lim_{x \to \pm\infty}\frac{4x}{x^2+a} = \lim_{x \to \pm\infty}\frac{x^2}{x^2} \cdot \frac{\frac{4}{x}}{1+\frac{4}{x^2}}</math><br /><math> = \frac{\frac{4}{\pm\infty}}{1+\frac{4}{\infty^2}} = \frac01 = 0</math>
===b)===
Notwendige Bedingung:<br />
<math>8x^3-24ax=0 \Leftrightarrow x=0 \land 8x^2 = 24a \Leftrightarrow x=0 \land x=\sqrt{3a} \land x=-\sqrt{3a}</math><br />
Die hinreichende Bedingung ist nicht erforderlich, da aus den Extremstellen, der Nullstelle und der x-Achse als Asymptote folgt, dass die Funktion drei Wendestellen hat.<br />
Für a=2 folgt: <math>x=\sqrt{6} \land x=-\sqrt{6}</math>
===c)===
<math>x=\sqrt{a}  \land g\left(\sqrt{a}\right)=\frac{2}{\sqrt{a}} \Leftrightarrow a=x^2 \land g(x)=\frac{2}{x}</math><br />
Der Definitionsbreich von g(x)  ist <math>\mathbb D = \mathbb R^{\ne 0}</math>. Für jedes a>0 ist die Funktion <math>g\left(\pm\sqrt{a}\right)</math> definiert und jeder Wert im Definitionsbereich lässt sich mit <math>\pm\sqrt{a}</math> ausdrücken. Für negative x-Werte ist g(x) die Funktion der Tiefpunkte, für positive x-Werte die Funktion der Hochpunkte. Jeder Punkt von x ist ein Extrempunkt der Scharkurven.

===d)===
# Schnittpunkt der Graphen:<br /><math>\frac{4x}{x^2 + 1 }= x \Leftrightarrow 4x = x^3 + x \Leftrightarrow x^3 - 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \land x=\pm\sqrt{3}</math>
# Bestimmung des Flächeninhalts:<br /><math>A= \int\limits_0^{\sqrt{3}}f_1(x)\,dx - \int\limits_0^{\sqrt{3}}x\,dx = 2 \cdot ln(x^2 + 1) - \frac12 x^2 \Big|_0^{\sqrt{3}}</math><br /><math>= 2 \cdot ln(4) - \frac32 - 2\cdot ln(1) \approx 1{,}2725887...</math>
===e)===
Die Seitenlänge des Quadrats ist:
:<math>\sqrt{\frac{16}{a}+4a}</math><br />
Der Flächeninhalt wird minimal, wenn die Seitenlänge minimal wird.<br />
<math>s(a)=\sqrt{\frac{16}{a}+4a}</math><br /><br />
<math>s'(a)= \frac{- \frac{16}{a^2} + 4}{2 \sqrt{\frac{16}{a}+4a}}</math>
<br />Minimum:<br />
<math>0 = \frac{- \frac{16}{a^2} + 4}{2 \sqrt{\frac{16}{a}+4a}} \Leftrightarrow \frac{16}{a^2} = 4 \Leftrightarrow a^2=4</math><br /><math>\Leftrightarrow a = 2</math>
{{Aufgabe|Aufgaben_Analysis:_Abi 2007 NRW LK HT 3}}
[[Kategorie: Lösungen Analysis]]