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==Vektorielle Form==

===Parameterform===
Eine Ebene im <math>\mathbb R^3</math> kann durch folgende Gleichung beschrieben werden, wobei <math>\vec x_0</math> ein beliebiger Ortsvektor eines Punktes innerhalb der Ebene ist (der sogenannte Stützvektor) und <math>\vec u</math> und <math>\vec v</math> [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängige]] Vektoren sind, die parallel zur Ebene verlaufen:
<center><math>E: \vec x = \vec x_0 + \lambda \cdot \vec u + \mu \cdot \vec v</math></center><br />
Anschaulich "springt" man mit dem Vektor <math>\vec x_0</math> auf die Ebene und kann mit den beiden Vektoren <math>\vec u</math> und <math>\vec v</math> jeden Vektor parallel zur Ebene [[Linearkombination|linear kombinieren]]. So lässt sich jeder Ortsvektor der Ebene mit bestimmten Parametern λ und μ kombinieren.

===Normalenform===
Da das [[Skalarprodukt]] von zwei senkrechten Vektoren gleich Null ist, ist eine Ebene im <math>\mathbb R^3</math> durch folgende Gleichung beschrieben:
<center><math>E: (\vec x_0 - \vec x) \cdot \vec n = 0</math></center><br />

<math>\vec x_0</math> ist dabei ein beliebiger Ortsvektor innerhalb der Ebene. Die beschriebene Ebene ist die Ebene, die senkrecht zu <math>\vec n</math> ist (Normalenvektor), da wenn der Vektor <math>\vec x_0 - \vec x</math> senkrecht zu <math>\vec n</math> ist, das Skalarprodukt Null ist.
====Hesse'sche Normalenform====
Die Hesse'sche Normalenform einer Ebene ist:
<center><math>E: (\vec x_0 - \vec x) \cdot \vec n_0 = 0</math></center><br />
Dabei ist <math>\vec n_0</math> der Normaleneinheitsvektor, d.h. <math> \left| \vec n_0 \right| = 1</math> bzw. <math>\vec n_0 = \frac{1}{\left| \vec n \right|} \cdot \vec n</math>

==Koordinatenform==
Eine Ebene kann ebenfalls in der Form
<center><math>E: a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z = d</math></center><br />
ausgedrückt werden. Diese Fom kann man als ausmultiplizierte Form der Normalenform verstehen.  Damit folgt aus der Koordinatenform direkt:
<math>
  \vec{n} = \begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}
</math><br />
d ist demnach das Skalarprodukt von <math>\vec n</math> mit einem beliebigen Ortsvektor der Ebene. Außerdem kann man durch Nullsetzen der entsprechenden Koordinaten schnell die Spurgeraden und Achsenschnittpunkte bestimmen. (Z.B. für die Spurgerade in der x/y-Ebene z=0 setzen, für den Schnittpunkt der x-Achse y und z=0 setzen.)

[[Kategorie:Lineare Algebra]]