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Gegeben sind die Funktionen f_a mit <math>f_a(x) = ( x + a ) \cdot e^{-x} , a \ge 0 .</math><br /> Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f₁ sowie den Graphen ihrer Ableitungsfunktion f'₁.<br /> <center><ggb_applet height='250' width='400' filename='LKHT 3 1.ggb' /></center> <br /> ===a)=== ''Untersuchen Sie den Graphen der Funktion f_a in Abhängigkeit von a auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und Extrempunkte.'' ''Ermitteln Sie das Verhalten von f_a für'' <math>x \rightarrow \infty</math>. <br /><br /> Zur Kontrolle: <math>f'_a(x)=(-x+1-a) \cdot e^{-x}</math> ===b)=== ''Zeigen Sie, dass die Graphen von f_a und f'_a genau einen Schnittpunkt S_a haben, und berechnen Sie seine Koordinaten in Abhängigkeit von a.<br /> Geben Sie die Gleichung der Funktion g an, auf deren Graph alle Schnittpunkte S_a liegen.<br />Bestimmen Sie den Wert von a, für den sich die Graphen von f_a und f'_a rechtwinklig schneiden.'' <br /><br /> Zur Kontrolle:<br /> <math>S_a \left( \begin{array}{c|c} \frac12 - a & \frac12 e^{-\frac12+a} \end{array}\right)</math> <br /> ---- <br /> Im Folgenden werden die Funktionen f₁ mit <math>f_1(x)=(x+1) \cdot e^{-x}</math> und f'₁ mit <math>f'_1(x)= -x \cdot e^{-x}</math> betrachtet, deren Graphen in der Abbildung dargestellt sind. ===c)=== Die Parallele zur y-Achse mit x=u, u≥0, schneidet den Graphen von f₁ im Punkt <math>P_u \left( \begin{array}{c|c} u & f_1(u) \end{array}\right)</math> und den Graphen von f'₁ im Punkt <math>Q_u \left( \begin{array}{c|c} u & f'_1(u) \end{array}\right)</math> . Die Punkte P_u und Q_u bilden mit dem Schnittpunkt <math>S_a \left( \begin{array}{c|c} \frac12 - a & \frac12 e^{-\frac12+a} \end{array}\right)</math> der Graphen von f₁ und f'₁ das Dreieck S₁Q_uP_u. <br /><br /> ''Bestimmen Sie u ≥ 0 so, dass der Flächeninhalt A(u) dieses Dreiecks maximal wird.''<br /><br /> Zur Kontrolle: <math>A(u)=\left(u^2 + u + \frac14 \right) \cdot e^{-u}</math> ===d)=== Die Graphen von f₁ und f'₁ schließen mit der Parallelen zur y-Achse mit x=u, u>0, ein Flächenstück ein. <br /> ''Ermitteln Sie den Inhalt dieses Flächenstücks in Abhängigkeit von u. <br /> Prüfen Sie, ob für ''<math>u \rightarrow \infty</math>'' das nach rechts unbegrenzte Flächenstück einen endlichen Flächeninhalt besitzt.'' {{Lösung|Lösungen_Analysis:_Abi_2008_NRW_LK_HT_3}} [[Kategorie: Aufgaben Analysis]]

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